Cono (geometría)


Cono (geometría)
Para otros usos de este término, véase cono.
Cone.jpg

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.

Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.

Contenido

Clasificación

Cono recto y cono oblicuo.

Se denominan:

  • Cono recto, si el vértice equidista de la base circular
  • Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base
  • Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.

La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.

La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.

Área de la superficie cónica

El área A\, de la superficie del cono recto es:

A=A_{Base}+ A_{Lateral}=\pi r^2 + \pi rg\,\!

donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.

La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: g=\sqrt{h^2+r^2}\,.

Desarrollo plano de un cono recto

Desarrollo plano del cono.

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de a=\sqrt{h^2+r^2}\,

donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.

El ángulo que esta sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

\mathrm{\acute{a}ngulo} = 360(r/a) \,.

Volumen de un cono

El volumen V\, de un cono de radio r \, y altura h \, es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

V = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}\,\!

La ecuación se obtiene mediante \int^{h}_{0}A(x)dx\,\!,

donde A(x)\, es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura h, en este caso A(x)=\pi\left(\frac{rx}{h}\right)^2.

Secciones cónicas

Distintas secciones cónicas.
Artículo principal: Sección cónica

Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.

Si el plano pasa por el vértice la intersección podrá ser: una recta, un par de rectas cruzadas o un punto (el vértice).

Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación, describen órbitas similares a secciones cónicas: elipses, hipérbolas o parábolas en función de sus distancias, velocidades y masas.

También son muy útiles en aerodinámica y otras aplicaciones industriales, ya que permiten ser reproducidas por medios simples con gran exactitud, logrando volúmenes, superficies y curvas de gran precisión.

Ecuación en coordenadas cartesianas

Superficie cónica.

En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \,

Este conjunto también coincide con la imagen de la función:

X(\theta,t)=(a \cdot t \cdot \cos(\theta),b \cdot t \cdot \sin(\theta),c \cdot t),\,

que es llamada parametrización del cono.

Por ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), éste conjunto es obtenido a partir de rotar la recta (t,0,\frac{c\,t}{a})\, respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.

El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro)

Véase también

Enlaces externos


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