Ecuación de Langevin

Ecuación de Langevin

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En física estadística, una ecuación de Langevin es una ecuación diferencial estocástica que describe el movimiento browniano en un potencial.

Las primeras ecuaciones de Langevin que fueron estudiadas fueron aquellas en las que el potencial es constante, de forma tal que la aceleración a de una partícula browniana de masa m se expresa como la suma de la fuerza viscosa que es proporcional a la velocidad de la partícula v (ley de Stokes), un término de "ruido" $\mathbf\eta(t)$ (el nombre que se le da en un contexto físico a términos en ecuaciones diferenciales estocásticas que son procesos estocásticos), que representa el efecto de una serie continua de choques con los átomos del fluido que forma el medio, y F(x) que es la fuerza de interacción sistemática producida por las interacciones intramoleculares e intermoleculares:

$m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = F(\mathbf{x}) - \beta \mathbf{v} + \eta(t)$.

Ecuaciones esencialmente similares se aplican a otros sistemas brownianos, tales como ruido de Johnson-Nyquist (también conocido como ruido térmico) en una resistencia eléctrica:

$L \frac{d I(t)}{dt} = -R I(t) + v(t).$

Se pueden obtener numerosos resultados interesantes aún sin resolver la ecuación de Langevin, a partir del teorema de disipación de fluctuación.

El método principal para hallar una solución, si es que se requiere una solución, es utilizar la ecuación de Fokker-Planck, que presenta una ecuación determinística que es satisfecha por la densidad de probabilidad dependiente del tiempo. Soluciones numéricas alternativas se pueden obtener mediante simulación de Monte Carlo. También se han usado otras técnicas, tales como integración de camino, que se basan en la analogía entre física estadística y mecánica cuántica (por ejemplo la ecuación de Fokker-Planck puede ser transformada en la ecuación de Schrödinger si se transforman algunas variables).

La ecuación de Langevin se utiliza también en la dinámica molecular como un termostato, obteniendo así una temperatura promedio constante en la simulación.

Referencias

• The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), by W T Coffey (Trinity College, Dublin, Ireland), Yu P Kalmykov (Université de Perpignan, France) & J T Waldron (Trinity College, Dublin, Ireland).

• World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (The First Edition is Vol 10)

• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation

Véase también

• Paul Langevin
• Movimiento browniano

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