Ruido de Johnson-Nyquist

Ruido de Johnson-Nyquist

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El ruido de Johnson–Nyquist (ruido térmico, ruido de Johnson, o ruido de Nyquist) se genera por la agitación térmica de los portadores de carga (generalmente electrones dentro de un conductor) en equilibrio, lo que sucede con independencia del voltaje aplicado.

El ruido térmico es aproximadamente blanco, lo que significa que su densidad espectral de potencia es casi plana. Además, la amplitud de la señal sigue una distribución gaussiana.^[1]

Historia

Este tipo de ruido fue medido por primera vez por John B. Johnson en 1928 en los Bell Labs.^[2] Comunicó su hallazgo a su compañero Harry Nyquist, que elaboró la explicación técnica del fenómeno.^[3]

Ruido de tensión y potencia

El ruido térmico es diferente del ruido de disparo, que tiene lugar cuando el número finito de electrones es suficientemente pequeño para dar lugar a la aparición de fluctuaciones estadísticas apreciables en una medición. La definición de ruido de Johnson-Nyquist aplica a cualquier tipo de medio conductor. Puede modelarse como una fuente de tensión que representa el ruido de una resistencia no ideal en serie con una resistencia libre de ruido.

La densidad espectral de potencia viene dada por:

$\bar {v_{n}^2} = 4 k_B T R$

donde k_B es la constante de Boltzmann en julios por kelvin, T es la temperatura de la resistencia en kelvin, y R su valor en Ohmios (Ω). La siguiente ecuación proporciona un cálculo rápido:

$\sqrt{\bar {v_{n}^2}} = 0.13 \sqrt{R} ~\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$.

Por ejemplo, una resistencia de 1 kΩ a 300 K tiene

$\sqrt{\bar {v_{n}^2}} = \sqrt{4 \cdot 1.38 \cdot 10^{-23}~\mathrm{J}/\mathrm{K} \cdot 300~\mathrm{K} \cdot 1~\mathrm{k}\Omega} = 4.07 ~\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$.

Para un acnho de banda dado, el valor cuadrático medio (RMS) de la tensión, v_n, vale

$v_{n} = \sqrt{\bar {v_{n}^2}}\sqrt{\Delta f } = \sqrt{ 4 k_B T R \Delta f }$

donde Δf es el ancho de banda sobre el que se mide el ruido. Para una resistencia de 1 kΩ a temperatura ambiente y10 kHz de ancho de banda, el valor cuadrático medio de la tensión de ruido en 400 nV.^[4] Una regla sencilla para recordar es que 50Ω sobre un ancho de banda de 1Hz corresponden a 1nV a temperatura ambiente.

Una resistencia en cortocircuito, disipa una potencia de ruido:

$P = \bar{v_{n}^2}/R = 4 k_B \,T \Delta f$

El ruido generado en la resistencia puede transferirse al resto del circuito, siendo máximo el valor de transferencia cuando la impedacia del equivalente de Thévenin de éste iguala el valor de la resistencia. En esta caso, cada una de las dos resistencias disipa ruido tanto sobre sí misma como sobre la otra. Puesto que solo la mitad de la tensión de ruido cae en cada una de ellas, la potencia de ruido resultante es:

$P = k_B \,T \Delta f$

sonde P es la potencia del ruido térmico en vatios. Nótese que es independiente del valor de la resistencia.

Ruido en decibelios

En telecomunicaciones, la potencia se suele expresar en decibelios relativos a 1 milivatio (dBm), suponiendo una carga de 50 ohmios. Bajo estas condiciones, a temperatura ambiente el ruido vale:

$P_\mathrm{dBm} = -174 + 10\ \log(\Delta f)$

donde P viene expreseda en dBm. Por ejemplo:

Ancho de banda	Potencia	Notas
1 Hz	−174 dBm
10 Hz	−164 dBm
1000 Hz	−144 dBm
10 kHz	−134 dBm	canal de walkie-talkie
1 MHz	−114 dBm
2 MHz	−111 dBm	Canal GPS
6 MHz	−106 dBm	Televisión analógica
20 MHz	−101 dBm	WLAN 802.11

La cantidad real de ruido térmico captada por un receptor de radio de 50 Ω de impedancia de entrada, conectado a una antena de 50 Ω se escala según la cifra de ruido (NF), tal comosigue:

$P_\mathrm{receiver noise} (dB) = P_\mathrm{resistor noise} (dB) + 10\ \log_{10}(10^{NF/10}-1)$

o

$P_\mathrm{receiver noise} = P_\mathrm{resistor noise} (10^{NF/10}-1)\,$

P_{receivernoise} es el ruido generado por el propio receptor. P_{resistornoise} es el valor de ruido térmico para una resistencia según la tabla anterior. NF se expresa en dB. Diez elevado a NF/10 se denomina factor de ruido. El factor de ruido se define de esta forma, porque se mide conectando una resistencia a la entrada del receptor y comparando la potencia de ruido con la esperada si el ruido del receptor fuese simplemente amplificadopor la ganacia del receptor. Nótese que la resistencia de radiación de la antena no convierte energía en calor, sólo en radiación electromagnético y por tanto no es una fuente de ruido térmico.

Ruido de corriente

La fuente de corriente puede modelarse también según el teorema de Norton y su valor corresponde entonces a dividir por R. Esto proporciona el valor cuadrático medio de la fuente de corriente:

$i_n = \sqrt {{ 4 k_B T \Delta f } \over R}$

El ruido térmico es intrínseco a todas las resistencias y no un síntoma de fabricación deficiente, aunque algunas resistencias pueden ser ruidosas en exceso.

Ruido térmico en los condensadores

El ruido térmico en un circuito RC tiene una expresión sencilla, pues el valor de la resistencia (R) desaparece de la ecuación. El ancho de banda del circuito RC es 1 / (4 R C),^[5] que puede sustituirse en la fórmula general para elimirar R.^[6]

$\bar {v_{n}^2} = k_B T / C$

$v_{n} = \sqrt{ k_B T / C }$

Ruido en condensadores a 300 K

Capacidad	$\sqrt{ k_B T / C }$	Electrones
1 fF	2 mV	12.5 e–
10 fF	640 µV	40 e–
100 fF	200 µV	125 e–
1 pF	64 µV	400 e–
10 pF	20 µV	1250 e–
100 pF	6.4 µV	4000 e–
1 nF	2 µV	12500 e–

Ruido a frecuencias muy altas

Las ecuaciones anteriores son una buena aproximación para frecuencias de radio inferiores a los 80 Gigahercios. En el caso más general, que incluye hasta las frecuencias ópticas, la densidad espectral de potencia del voltaje en R, en V² / Hz viene dado po:

$\Phi (f) = \frac{2 R h f}{e^{\frac{h f}{k_B T}} - 1}$

donde f es la frecuencia, h la constante de Planck, k_B la constante de Boltzmann y T la temperatura en kelvin.

Si la frecuencia es baja:

$f \ll \frac{k_B T}{h}$

(esa suposición es válida hasta unos pocos Terahercios) la exponencial puede aproximarse por serie de Taylor. La relación entonces se convierte en:

$\Phi (f) \approx 2 R k_B T$

En general, R y T dependen de la frecuencia. Para conocer el ruido total basta integrar sobre el ancho de banda. Al tratarse de una señal real, puede integrarse sobre el rango positivo y multiplicar por 2. Suponiendo que R y T sean constantes en todo el ancho de bandaΔf, entonces el valor cuadrático medio (RMS) del voltaje en la resistencia debido al ruido térmico es:

$v_n = \sqrt { 4 k_B T R \Delta f }$,

Es decir, la misma fórmula obtenida anteriormente.

Referencias

1. ↑ Mancini, Ron; others (August de 2002). «Op Amps For Everyone» (PDF). Application Notes págs. p. 148. Texas Instruments. Consultado el 2006-12-06. «Thermal noise and shot noise (see below) have Gaussian probability density functions. The other forms of noise do not.»
2. ↑ J. Johnson, "Thermal Agitation of Electricity in Conductors", Phys. Rev. 32, 97 (1928) – the experiment
3. ↑ H. Nyquist, "Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors", Phys. Rev. 32, 110 (1928) – the theory
4. ↑ Google Calculator result for 1 kΩ room temperature 10 kHz bandwidth
5. ↑ Kent H. Lundberg, See pdf, page 10: http://web.mit.edu/klund/www/papers/UNP_noise.pdf
6. ↑ R. Sarpeshkar, T. Delbruck y C. A. Mead (nov. 1993) White noise in MOS transistors and resistors, IEEE Circuits Devices Mag., pp. 23–29.

Enlaces externos

• Amplifier noise in RF systems
• Thermal noise (undergraduate) with detailed math
• Johnson-Nyquist noise or thermal noise calculator — volts and dB
• Thoughts about Image Calibration for low dark current and Amateur CCD Cameras to increase Signal-To-Noise Ratio
• Derivation of the Nyquist relation using a random electric field, H. Sonoda

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