Ecuación de Fokker-Planck

Ecuación de Fokker-Planck

Saltar a navegación, búsqueda

La ecuación de Fokker–Planck, denominada así por Adriaan Fokker y Max Planck, y también conocida como ecuación avanzada de Kolmogórov (por Andréi Kolmogórov), describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad que muestra la posición y la velocidad de una partícula, aunque puede generalizarse a otro tipo de variables.^[1] La ecuación se aplica a sistemas que pueden ser descritos por un pequeño número de "macrovariables", donde otros parámetros varían tan rápidamente con el tiempo que pueden ser tratados como "ruido" o una perturbación.

Historia

El primer uso de la ecuación de Fokker-Planck fue la descripción estadística del movimiento browniano de una partícula en el seno de un fluido. El movimiento browniano sigue la ecuación de Langevin, que puede resolverse para diferentes perturbaciones estocásticas, mediante resultados promediados. Sin embargo, como alternativa a este procedimiento, puede usarse la ecuación de Fokker-Planck y considerar una densidad de probabilidad en la velocidad y el tiempo, $f(\mathbf{v}, t)$. Esta distribución de probabilidad dependiente del tiempo puede aún depender de un conjunto de N macrovariables $\ x_i$, de tal manera que el movimiento browniano en cuestión puede ser representado por una ecuación de Fokker-Planck de la forma:

$\frac{\partial f}{\partial t} = \left[-\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} D_i^1(x_1, \ldots, x_N) + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) \right] f,$

donde:

D¹ es el término de arrastre, que viene dado por un vector.

D² es el término difusivo, que viene dado por una matriz.

Relación con las ecuaciones diferenciales estocásticas

La ecuación de Fokker–Planck puede usarse para calcular la densidad de probabilidad asociada a una ecuación diferencial estocástica. Por ejemplo, a la ecuación diferencial de Itō:

$\mathrm{d}\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t) \,\mathrm{d}t + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)\, \mathrm{d}\mathbf{W}_t,$

donde:

$\mathbf{X}_t \in \mathbb{R}^N$ es el estado del sistema.

$\mathbf{W}_t \in \mathbb{R}^M$ caracteriza un proceso de Wiener estándar M-dimensional.

Si la distribución inicial viene dada por $\mathbf{X}_0 \sim f(\mathbf{x},0)$, entonces la densidad de probabilidad $f(\mathbf{x},t)$ del estado $\mathbf{X}_t$ viene dada por la ecuación de Fokker–Planck con el término de arrastre y el término de difusión dados por:

$D^1_i(\mathbf{x},t) = \mu_i(\mathbf{x},t) \qquad D^2_{ij}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{2} \sum_k \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sigma_{kj}^\mathsf{T}(\mathbf{x},t).$

Ejemplos

Un proceso de Wiener escalar generado por la ecuación diferencia estocástica:

$\ \mathrm{d}X_t = \mathrm{d}W_t.$

que tiene un término de arrastre nulo, un término y una matriz de difusión dada por el coeficiente 1/2, tiene una densidad de probabilidad dada por la siguiente ecuación de Fokker-Planck:

$\frac{\partial f(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2}$

que resulta ser precisamente la forma más sencilla posible de la ley de Fick para la difusión.

Véase también

• Ecuación retardada de Kolmogórov

Referencias

1. ↑ Leo P. Kadanoff (2000). Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization. World Scientific. ISBN 9810237642.

Bibliografía

• Hannes Risken, "The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
• Crispin W. Gardiner, "Handbook of Stochastic Methods", 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3-540-20882-8.

Enlaces externos

• Fokker–Planck equation en Earliest known uses of some of the words of mathematics

Obtenido de "Ecuaci%C3%B3n de Fokker-Planck"