Axioma


Axioma

Axioma

Un axioma, en epistemología, es una "verdad evidente" que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos por medio de la deducción; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición "clásica". El axioma gira siempre sobre sí mismo, mientras los postulados y conclusiones posteriores se deducen de éste.

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

Contenido

Etimología

La palabra axioma proviene del griego αξιωμα (axioma), que significa "lo que no parece justo" o aquello que es considerado invidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

Lógica

La lógica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por sí misma (el axioma) e inferir sobre esta otras proposiciones por medio del método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y sólo de ellos, han de deducirse todas las demás proposiciones de la teoría dada.

Limitaciones

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos y consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable y, por tanto, P es verdadero.

Matemáticas

En lógica matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

Axioma es un enunciado aceptado como cierto, el cual contiene términos no definidos (punto, elemento, conjunto y otros conceptos primitivos a los cuales no hay forma de definirlos sino con ellos mismos).

Axiomas lógicos

Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier universo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje.

Ejemplos

En el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes, donde \phi \,, \psi \,, y \chi \, pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje:

  1. \phi \to (\psi \to \phi) \,
  2. (\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi)) \,
  3. (\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi)

Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si A, B, y C son variables proposicionales, entonces A \to (B \to A) y (A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B)) son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas. Puede probarse que con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional, también puede probarse que ningún par de estos esquemas es suficiente para probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados pero son necesarios más axiomas lógicos.

Ejemplo: Sea \mathfrak{L}\, un lenguaje de primer orden. Para cada variable x\,, la fórmula x = x\, es universalmente valida.

Esto significa que, para cualquier símbolo variable x\,, la fórmula x = x\, puede considerarse un axioma. Para no caer en la vaguedad o en una serie infinita de "nociones primitivas", primeramente se necesita ya sea una idea de lo que queremos decir con x = x\, o un definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo =\,, y de hecho, la lógica matemática lo hace.

Ejemplo: Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula \phi\, en un lenguaje de primer orden \mathfrak{L}\,, una variable x\, y un término t\, que es sustituible por x\, en \phi\,, la fórmula \forall x. \phi \to \phi^x_t es válida universalmente.

En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una cierta propiedad P\, se cumple para toda x\, y que si t\, es un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos ser capaces de afirmar P(t)\,. De nuevo, estamos afirmando que la fórmula \forall x. \phi\ \to \phi^x_t es válida, esto es, debemos ser capaces de dar una prueba de este hecho, o mejor dicho, una metaprueba. De hecho, estos ejemplos son metateoremas de nuestra teoría de la lógica matemática ya que nos referimos meramente al concepto de demostración en sí. Además de esto, también podemos tener una generalización existencial:

Esquema axiomático: Para una fórmula \phi\, en un lenguaje de primer orden \mathfrak{L}\,, una variable x\, y un término t\, que es sustituible por x\, en \phi\,, la \phi^x_t \to \exists x. \phi es universalmente válida.

Axiomas no-lógicos

Los Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro nombre para los axiomas no-lógicos es postulado.

Casi cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.

En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas no-lógicos simplemente como axiomas, esto no significa que sean verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en algunos grupos, una operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado introduciendo un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este axioma se puede desarrollar la teoría de grupos e incluso se puede tomar su negación como un axioma para estudiar los grupos no-conmutativos.

Un axioma es el elemento básico de un sistema de lógica formal y junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.

Véase también

Enlaces externos

  • Axioma
  • Axioma, en Symploké
  • Axioma, en Diccionario soviético de filosofía
  • Axioma, en Diccionario enciclopédico hispanoamericano
Obtenido de "Axioma"

Wikimedia foundation. 2010.

Sinónimos:

Mira otros diccionarios:

  • axiomă — AXIÓMĂ, axiome, s.f. 1. Adevăr fundamental admis fără demonstraţie, fiind evident prin el însuşi. 2. Enunţ prim, nedemonstrat, din care se deduc, pe baza unor reguli, alte enunţuri. [pr.: xi o ] – Din fr. axiome. Trimis de ana zecheru, 13.09.2007 …   Dicționar Român

  • axioma — |acsi| s. m. Proposição tão evidente que não precisa ser demonstrada.   ‣ Etimologia: latim axioma, atis, do grego axíoma, atos …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • axioma — sustantivo masculino 1. Área: filosofía Afirmación que se considera verdadera, sin necesidad de demostración: El hombre es un ser racional es un axioma. Sinónimo: teorema …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • axioma — (Del lat. axiōma, y este del gr. ἀξίωμα). 1. m. Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración. 2. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría …   Diccionario de la lengua española

  • Axioma — (Del lat. axioma < gr. axioma, lo que parece o se estima como justo < axios, digno.) ► sustantivo masculino LÓGICA Punto de partida de un razonamiento, o afirmación, considerado como evidente o no demostrable. * * * axioma (del lat.… …   Enciclopedia Universal

  • axioma — {{#}}{{LM A04285}}{{〓}} {{SynA04385}} {{[}}axioma{{]}} ‹a·xio·ma› {{《}}▍ s.m.{{》}} Proposición o enunciado básico tan claros y evidentes que se admiten sin necesidad de demostración: • ‘Dos cosas iguales a otra son iguales entre sí’ es un… …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • axioma — a|xi|o|ma Mot Pla Nom masculí …   Diccionari Català-Català

  • axioma — s m 1 Supuesto o verdad evidente que no requiere demostración 2 Principio que se considera verdadero y que sirve para el desarrollo de razonamientos lógicos …   Español en México

  • axiómã — s. f. (sil. xi o ), g. d. art. axiómei; pl. axióme …   Romanian orthography

  • axioma — sustantivo masculino aforismo, apotegma, dogma, máxima, principio, sentencia, afirmación. * * * Sinónimos: ■ aforismo, principio, máxima, sentencia, proverb …   Diccionario de sinónimos y antónimos


Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.