Grupo de homeotopía

En la topología el concepto de grupo de homeotopía de una superficie, S, consiste en el grupo de las clases de isotopía de los auto-homeomorfismos de S donde se factorizan los auto-homeomorfismos isotópicos al mapeo identidad de S. Este concepto también es llamado el mapping class group de la superficie. Por lo que suele usarse el símbolo $\mathcal{MCG}(S)$ para denotar tal estructura.

Los ejemplos elementales son:

• el plano proyectivo, P tiene $\mathcal{MCG}(P)=1$, y esto es porque cada auoto-homeomorfismo del plano proyectivo es isotópico a la identidade de P
• $\mathcal{MCG}(S^2)=\mathbb{Z}_2$, para la 2-esfera
• para el toroide, T, tenemos $\mathcal{MCG}(T)=GL_2(\mathbb{Z})$
• la botella de Klein, K tiene $\mathcal{MCG}(K)=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$

Un hecho importante es que ha sido demostrado rigurosamente que para superficies orientables S sus grupos de homeotopía coincide con ${\rm Out}\pi_1(S)\,$, el grupo de automorfismo exteriores del grupo fundamental de S.

Tiene sentido también definir este concepto para cualquier espacio topológico arco-conexo.

No debe confundirse este concepto con el de grupos de homotopía de un espacio X, donde los elementos son las clases de homotopía de mapeos de la esfera Sⁿ a X.

Ver también homotopía.