Homotopía

Los dos caminos en negrita que se muestran arriba son homotópicos en relación a sus extremos. Las líneas finas marcan isocontornos de una posible homotopía.

En topología, la noción de homotopía captura el ideal de que goza la topología de ser la geometría de la hoja de hule, es decir, de lo deformable. Dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro se dicen homotópicas (del griego homos = mismo y topos = lugar) si una de ellas puede "deformarse continuamente" en la otra.

Definición formal

Dos aplicaciones continuas $f,g:X\to Y$ se dicen homotópicas si existe otra aplicación (continua también) $H:X\times [0,1]\to Y$ tal que:

$H(x,0)=f(x) \,$

$H(x,1)=g(x) \,$

Un ejemplo importante es considerar las diferentes clases (homotópicas) de mapeos del círculo a un espacio X

$S^1\to X \,$

la estructura resultante es el importantísimo grupo fundamental.

Tipo homotópico

Se dice que dos espacios X, Y tienen el mismo tipo homotópico, si existe un par de aplicaciones $X\stackrel{f}\to Y$ y $Y\stackrel{g}\to X$ tales que $g\circ f$ y $f\circ g$ son homotópicos a Id_X y Id_Y respectivamente.

Suele ser utilizado el símbolo: $f\simeq g$, para indicar que los objetos f y g son homotópicos.

Como ejemplos, una 1-esfera y un toro sólido tienen el mismo tipo homotópico. La superficie del toro con un disco removido tiene el mismo tipo homotópico de un producto wedge de dos 1-esferas (bouquet de dos círculos).

Homotopía relativa

Homotopía de complejos de cadena

Referencias