Constante de Legendre

La constante de Legendre (B o B'_L) es una constante matemática que se presenta en una fórmula propuesta por Adrien-Marie Legendre que, según conjeturaba, explicaba el comportamiento asintótico de la función contador de números primos $\scriptstyle\pi(x)$. Se sabe que su valor es exactamente 1.

Tras examinar la evidencia numérica sobre los números primos disponible por entonces, Legendre conjeturó que, para valores grandes de n, $\scriptstyle\pi(x)$ satisface:

$\lim_{n \rightarrow \infty } \ln(n) - {n \over \pi(n)} = B$

donde B es la constante de Legendre, cuyo valor consideraba alrededor de 1,08366. Eso sí, independientemente de su valor exacto, la mera existencia de B implicaba la veracidad del teorema de los números primos.

Posteriormente Carl Friedrich Gauss también examinó los datos numéricos y concluyó que el límite podría ser menor.

Charles Jean de la Vallée-Poussin demostró el teorema de los números primos (independientemente de Jacques Hadamard), y finalmente probó que B es igual a 1.

Al ser igual a un número tan sencillo, la constante de Legendre retiene eminentemente un valor histórico. Es común, aunque técnicamente incorrecto, referirse con el concepto de "constante de Legendre" a la primera estimación de 1,08366... en lugar del valor correcto.

Enlaces externos

• Legendre's constant (en inglés)