Sucesión de Euclides-Mullin

La sucesión de Euclides-Mullin es una sucesión infinita de números primos distintos dos a dos, en la cual cada término es el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos anteriores.

Los 43 primeros términos de la sucesión son (sucesión A000945 en OEIS):

2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139703, 457, 9649, 61, 4357

A fecha de 2008, sólo se conocen esos términos. Encontrar el siguiente implica encontrar el factor primo más pequeño de un número de 180 cifras que se sabe compuesto.

Definición

Si a_n denota el n-ésimo término de la sucesión, entonces a_n es el factor primo más pequeño de

$\left(\prod_{i < n} a_i\right)+1\,.$

El primer término es por tanto el factor primo más pequeño del producto vacío más uno, es decir, 2. El 13 en la sucesión es el menor de los factores primos de 2 × 3 × 7 × 43 + 1 = 1806 + 1 = 1807 = 13 × 139.

Propiedades

Esta sucesión es infinita y no contiene elementos repetidos. Esto se puede demostrar mediante el método que utilizó Euclides de que hay infinitos números primos. De hecho, esta demostración es constructiva, y esta sucesión es el resultado de llevar a cabo una versión de dicha construcción.

Conjetura

Se conjetura que todos los números primos son términos de la sucesión de Euclides-Mullin. Sin embargo, no se sabe cómo se podría demostrar esto. El número primo más pequeño que no se sabe si forma parte de la sucesión es el 31.

La posición de los números primos del 2 al 97 en la sucesión es:

1, 2, 7, 3, 12, 5, 13, 36, 25, 33, ?, 18, ?, 4, ?, 6, ?, 42, ?, 22, ?, ?, ?, 35, 26 (A056756)

donde ? indica que se desconoce el orden del número primo correspondiente e incluso si está en la sucesión a fecha de 2008. (El listado con los signos de interrogación aparece en el campo "Extensions", sin embargo, la lista principal se detiene en el 33 y no incluye signos de interrogación).

Véase también

• Número de Euclides
• Sucesión de Sylvester

Enlaces externos

• Factoring 43rd Term of Euclid-Mullin sequence, factorización de los números para los cuales los elementos de la sucesión son el factor más pequeño.
• Weisstein, Eric W. «Euclid–Mullin Sequence» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.