Relación de Parseval

En matemáticas, la Relación de Parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria; es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada. Esta relación procede de un teorema de 1799 sobre series, cuyo creador fue Marc Antoine Parseval. Esta relación se aplicó más tarde a las Series de Fourier.

Aunque la Relación de Parseval se suele usar para indicar la unicidad de cualquier transformada de Fourier, sobre todo en física e ingeniería, la forma generalizada de este teorema es la Relación de Plancherel.

Fórmula

En física e ingeniería, la Relación de Parseval se suele escribir como:

$\int_{-\infty}^{\infty} | f(t) |^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} | \mathcal{F} [ f(t) ] (\alpha ) |^2 d\alpha$

donde $\mathcal{F} [ f(t) ] (\alpha )$ representa la transformada continua de Fourier de x(t) y f representa la frecuencia (en hercios) de x.

La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señal x(t) es igual a la energía total de su transformada de Fourier X(f) a lo largo de todas sus componentes frecuenciales.

Para señales de tiempo discreto, la relación es la siguiente:

$\sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] |^2 = \int_{-\pi}^{\pi} | X(e^{j\phi}) |^2 d\phi$

donde X es la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de x y φ representa la frecuencia angular (en radianes) de x.

Por otro lado, para la transformada discreta de Fourier (DFT), la relación es:

$\sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2$

donde X[k] es la DFT de x[n], ambas de longitud N.

Véase también

• Desigualdad de Bessel
• Identidad de Parseval

Referencias

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Biografía de Marc-Antoine Parseval des Chênes» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Parseval.html 
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
• Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
• William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.

Enlaces externos

• Relación de Parseval en Mathworld (en inglés)