Raíz cúbica

Representación gráfica de la función: y = $\sqrt[3]{x}$

En general, un número real posee tres raíces cúbicas, una correspondiente a un número real, y las otras dos a números complejos. Así, las raíces cúbicas de 8 son:

$\sqrt[3]{8} = \begin{cases} \ \ 2 \\ -1+i\sqrt{3} \\ -1-i\sqrt{3} \end{cases}$

La operación de calcular la raíz cúbica de un número es una operación asociativa con la potenciación y distributiva con la multiplicación y división, pero no es asociativa o distributiva con la suma o la resta.

Definición Formal

Las raíces cúbicas de un número x son números y que satisfacen la ecuación

$y^3 = x\,$

Números reales

Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real. Si se emplea esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo. De esta forma el principio de la raíz cúbica de x es representada igualmente por aqui mismo:

$\sqrt[3]{x} = x^{1\over3}$

Si x e y son ambos complejos, entonces se puede decir que posee tres soluciones (si x es no nulo) y así x tiene tres raíces cúbicas: una raíz real y dos complejas, en la forma de par conjugado. Este hecho deja interesantes resultados dentro de las matemáticas.

Por ejemplo, las raíces del número uno son:

$\sqrt[3]{1} = \begin{cases} \ \ 1 \\ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases}$

Estas dos raíces se relacionan con todas las otras raíces cúbicas de otros números. Si un número es raíz cúbica de un número real las raíces cúbicas pueden ser calculadas multiplicando el número por las raíces de la raíz cúbica de uno.

Números Complejos

Para los números complejos, el valor principal de las raíces cúbicas se define como:

$x = r \exp(i \theta)\,$

Donde r es un número real positivo y θ cae en el rango:

$-\pi < \theta \le \pi$,

entonces la raíz cúbica es

$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{r}\exp \left( {i\theta \over 3} \right)$.

Esto significa que en coordenadas polares al tomar la raíz cúbica de un número complejo se está tomando la raíz cúbica del radio y el ángulo polar se está dividiendo en tres partes de tal forma que define las tres raíces. Con esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es un número complejo, y por ejemplo $\sqrt[3]{-8}$ no será -2, sino $1 + i\sqrt{3}$. En aquellos programas que aceptan resultados imaginarios (tales como Mathematica), el grafo de la raíz cúbica de x en el plano de los números reales dará como resultados valores negativos de la raíz por igual.

La raíz cúbica en una calculadora de mano

Procedente de la siguiente identidad:

$\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots$,

Existe un método simple para poder calcular la raíz cúbica de un número en una calculadora no-científica, la cual requiere sólo las operaciones aritméticas de multiplicación y raíz cuadrada. No se requiere además la memoria. Se describe a continuación:

• Presiona el botón de raíz cuadrada, una vez.
• Presiona el botón de multiplicación.
• Presiona el botón de raíz cuadrada dos veces.
• Presiona el botón de multiplicación.
• Presiona el botón de raíz cuadrada cuatro veces.
• Presiona el botón de multiplicación.
• Presiona el botón de raíz cuadrada ocho veces.
• Presiona el botón de multiplicación...

El proceso se continúa hasta que el número que hay en la pantalla permanece sin cambiar en la pantalla, esto es así debido a que tiene que aparecer 1 o un número tal que 0,9999999... (esto significa que se ha llegado al límite de la precisión de la calculadora). En este momento se presiona el botón de raíz cuadrada una vez más y el número que aparece en la pantalla corresponderá la mejor aproximación que la calculadora puede proporcionar de la raíz cúbica del número original. Al calcular la raíz cuadrada al principio y otra al final del algoritmo, se obtiene un menor error relativo que apretando dos veces el botón de raíz cuadrada al principio. En el método anterior si se reemplaza la primera multiplicación por una división, sin modificar el resto del algoritmo, en lugar de averiguar la raíz cúbica se averigua la raíz quinta.

Cálculo manual de la Raíz cúbica

Al igual que con las raíces cuadradas. existe también una operación que, aunque muy poco utilizada por haber métodos más sencillos para resolverlas, sirve para hallar el resultado de la raíz cúbica de un número dado, la operación es la siguiente:

\3/————————|
     1331  |11
    -1     |——————————————
    ——     |300·1²·3= 900
     0331  | 30·1·3²= 270
     -331  |      3³=  27
     ————  |         ————
      000  |         1197
           |se pasa de 331
           |
           |300·1²·2= 600
           | 30·1·2²= 120
           |      2³=   8
           |         ————
           |          728  
           |se pasa de 331
           |
           |300·1²·1= 300
           | 30·1·1²=  30
           |      1³=   1
           |          ———
           |          331
           |es igual o menor
           |a 331
  

Explicación de la operación:

1. Se separan los dígitos de 3 en 3 de derecha a izquierda a la derecha de la coma si no tiene decimales y si los tiene además las cifras decimales se separan de 3 en 3 de izquierda a derecha.
2. Se busca un número cuyo cubo sea igual o menor (si es menor siempre la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) a la primera cifra o conjunto de cifras que se encuentran primero (a la izquierda).
3. A la primera cifra o conjunto de cifras se le resta ese número cuyo cubo es igual o menor al primer conjunto de cifras, y se pone ese resultado bajándose al lado el siguiente grupo de tres cifras.
4. Se le restan las cifras que tenemos al resultado de sumar de 300 multiplicado por las últimas cifras que hemos obtenido de la raíz al cuadrado,(si solo tenemos una cifra como en el ejemplo solo una) multiplicado por el número adecuado que será la siguiente cifra de la raíz, sumado a 30 multiplicado por las últimas cifras obtenidas de la raíz multiplicado por el cuadrado de la que será la siguiente cifra de la raíz, sumado al cubo de la que será la siguiente cifra de la raíz. Como en el ejemplo hay que aventurar la cifra que es adecuada y si se pasa el resultado del número que nos hace falta hay que cambiar a la cifra adecuada. La cifra adecuada lógicamente es de una cifra siempre.
5. Una vez obtenido el número que es igual o menor (si es menor también la cifra más alta posible sin llegar a pasarse) se lo restamos.
6. Repetimos estos pasos hasta que se nos acaben los grupos de tres. Si la raíz cúbica no es exacta se puede poner una coma y tres grupos de ceros para seguir haciendo las operaciones y obtener cifras decimales para la raíz, que a partir de que alcancemos la coma habiendo terminado de operar los números enteros también tendremos que añadirle una coma.

Raíz cúbica entera.Método de extracción de un número superior a 1000 y dos decimales.

Pasos a seguir;

1. Para extraer la raíz cúbica entera de un número entero mayor que 1000, se divide dicho número en grupos de a tres cifras, empezando por la derecha;se extrae la raíz cúbica entera del primer grupo de la izquierda, y se tiene la primera cifra de la raíz ; se eleva esta cifra al cubo, y este cubo se resta del primer grupo de la izquierda.
2. A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente : se separan con un punto las dos primeras cifras de la derecha,y el número que queda a la izquierda se divide por el triplo del cuadrado de la primera cifra de la raíz.
3. El cociente hallado será la segunda cifra de la raíz, o un número mayor que ella.
4. Para comprobar si dicho cociente es la segunda cifra de la raíz, se eleva al cubo el número formado por la primera cifra de la raíz y dicho cociente ; y si este cubo puede restarse el número formado por los dos primeros grupos de la izquierda del número propuesto, el cociente hallado es la segunda cifra de la raíz ; más si dicho cubo es mayor que el número formado por las dos primeras secciones, el cociente hallado es mayor que la segunda cifra de la raíz,en cual caso dicho cociente se desminuye en una unidad, y la nueva cifra se comprueba del mismo modo.
5. Halladas la primera y segunda cifras de la raíz,se resta su cubo del número formado por las dos primeras secciones de la izquierda del número propuesto.
6. A la derecha del resto, se baja el grupo siguiente ; se separan, con un punto, las dos primeras cifras de la derecha, y el número que queda a la izquierda se divide por el triplo del cuadrado de las dos primeras cifras de la raíz.
7. El cociente hallado será, lo que se comprueba como anteriormente.
8. Y así continuamos hasta haber bajado todas las secciones,haber hallado la última cifra de la raíz y el residuo correspondiente, si la raíz es inexacta.

Raíz cúbica de un quebrado común

Para extraer la raíz cúbica de un quebrado o fracción común, se debe observar, primero, si el numerador y denominador tienen raíz cúbica exacta, en cuyo caso se extraen la raíz del numerador y la del denominador, y se divide la primera por la segunda. Si ambos términos no tienen raíz cúbica exacta, se reduce el quebrado a fracción decimal y se extrae la raíz del número decimal equivalente.

Raíces cúbicas de los 27 primeros números enteros positivos por truncamiento

$\sqrt[3]{1} = 1$

$\sqrt[3]{2} \approx1.259 \; 921 \; 049 \; 894 \; 873 \; 164 \; 767 \; 210$

$\sqrt[3]{3} \approx1.442 \; 249 \; 570 \; 307 \; 408 \; 382 \; 321 \; 638$

$\sqrt[3]{4} \approx1.587 \; 401 \; 051 \; 968 \; 199 \; 474 \; 751 \; 705$

$\sqrt[3]{5} \approx1.709 \; 975 \; 946 \; 676 \; 696 \; 989 \; 353 \; 108$

$\sqrt[3]{6} \approx1.817 \; 120 \; 592 \; 832 \; 139 \; 658 \; 891 \; 211$

$\sqrt[3]{7} \approx1.912 \; 931 \; 182 \; 772 \; 389 \; 101 \; 199 \; 116$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$\sqrt[3]{9} \approx2.080 \; 083 \; 823 \; 051 \; 904 \; 114 \; 530 \; 056$

$\sqrt[3]{10} \approx2.154 \; 434 \; 690 \; 031 \; 883 \; 721 \; 759 \; 293$

$\sqrt[3]{11} \approx2.223 \; 980 \; 090 \; 569 \; 315 \; 521 \; 165 \; 363$

$\sqrt[3]{12} \approx2.289 \; 428 \; 485 \; 106 \; 663 \; 735 \; 616 \; 084$

$\sqrt[3]{13} \approx2.351 \; 334 \; 687 \; 720 \; 757 \; 489 \; 500 \; 016$

$\sqrt[3]{14} \approx2.410 \; 142 \; 264 \; 175 \; 229 \; 986 \; 128 \; 369$

$\sqrt[3]{15} \approx2.466 \; 212 \; 074 \; 330 \; 470 \; 101 \; 491 \; 611$

$\sqrt[3]{16} \approx2.519 \; 842 \; 099 \; 789 \; 746 \; 329 \; 534 \; 421$

$\sqrt[3]{17} \approx2.571 \; 281 \; 590 \; 658 \; 235 \; 355 \; 453 \; 187$

$\sqrt[3]{18} \approx2.620 \; 741 \; 394 \; 208 \; 896 \; 607 \; 141 \; 661$

$\sqrt[3]{19} \approx2.668 \; 401 \; 648 \; 721 \; 944 \; 867 \; 339 \; 627$

$\sqrt[3]{20} \approx2.714 \; 417 \; 616 \; 594 \; 906 \; 571 \; 518 \; 089$

$\sqrt[3]{27} = 3$

Véase también

• Función raíz
• Método de Newton-Raphson
• Radical jerarquizado
• Raíz cuadrada

Enlaces externos

Resolución de raíces cúbicas mediante el método de Newton Raphson

Domingo Gomez Morin. Métodos aritméticos de orden superior para el cálculo de raíces cúbicas