Punto límite

Punto límite

Punto límite

En matemática, informalmente hablando un punto límite (o punto de contacto o punto de acumulación) de un conjunto S en un espacio topológico X es un punto x en X que puede ser "aproximado" por puntos de S distintos a x tanto como queramos. Este concepto generaliza la noción de límite y puede ser base de conceptos como conjunto cerrado y cerradura topológica. Ciertamente, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite, y la operación topológica de cerradura puede ser pensada como la acción de agregar a un conjunto sus puntos de acumulación.

Definición

Sea S un subconjunto de un espacio topológico X. Decimos que un punto x en X es un punto límite de S si todo conjunto abierto que contenga a x también contiene otro punto de S distinto de x. Esto es equivalente a pedir que toda vecindad de x contiene un punto de S distinto a x.

Algunas propiedades

  • Tenemos las siguientes caracterizaciones de los puntos límite: x es un punto límite de S si y solo sí está en la cerradura de S \ {x}.
    • Demostración: Partamos del hecho de que un punto está en la cerradura de un conjunto si y solo si toda vecindad del punto tiene intersección no vacía con el conjunto. Ahora, x es un punto límite de S ssi toda vecindad de x contiene un punto de S distinto a x ssi toda vecindad de x contiene un punto de S \ {x} sii x está en la cerradura de S \ {x}.
  • Si usamos L(S) para denotar el conjunto de puntos límite de S, entonces tenemos la siguiente caracterización de la cerradura de S: La cerradura de S es igual a la unión de S y L(S).
    • Demostración: Supongamos que x está en la cerradura de S. Si x está en S, está demostrado. Si x no está en S, entonces toda vecindad de x contiene un punto de S, y este punto no puede ser s. En otras palabras, x es un punto límite de S y x está en L(S).

Conversamente, si x está en S, entonces toda vecindad de x claramente tiene intersección no vacía con S, así que x está en la cerradura de S. Si x está en L(S), entonces toda vecindad de x contiene un punto de S (distinto de x), así que x está en la cerradura de S. Esto completa la prueba.

  • Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrado: un conjunto S es cerrado si y solo si este contiene a todos sus puntos límite.
  • Ningún punto aislado es el punto de límite de un conjunto que no lo contenga.
  • Un espacio X es discreto si y solo si ningún subconjunto de X tiene puntos límites.
  • Si un espacio X tiene la topología trivial y S es un subconjunto de X con más de un elemento, entonces todos los elementos de X son puntos límites de S.
Obtenido de "Punto l%C3%ADmite"

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

  • Punto de acumulación — Saltar a navegación, búsqueda En topología, el concepto de punto de acumulación de un conjunto en un espacio captura la noción de estar extremadamente cercano al conjunto sin pertenecer necesariamente a él. Generaliza la noción de límite en .… …   Wikipedia Español

  • Límite de una función — El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser… …   Wikipedia Español

  • Límite matemático — En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este… …   Wikipedia Español

  • limite — / limite/ s.m. [dal lat. limes mĭtis ]. 1. a. [linea terminale o divisoria: il l. fra due stati ; il l. d un terreno ] ▶◀ bordo, confine, limitare, margine. ◀▶ centro. b. (estens., lett.) [qualsiasi contrassegno avente la funzione di determinare… …   Enciclopedia Italiana

  • punto — (Del lat. punctum). 1. m. Señal de dimensiones pequeñas, ordinariamente circular, que, por contraste de color o de relieve, es perceptible en una superficie. 2. Cada una de las partes en que se divide el pico de la pluma de escribir, por efecto… …   Diccionario de la lengua española

  • punto (1) — {{hw}}{{punto (1)}{{/hw}}A s. m. 1 (mat.) Ente fondamentale della geometria, considerato privo di dimensioni | Di punto in bianco, all improvviso | Essere a un punto morto, in una situazione da cui non si vede possibilità d uscita | Punto di… …   Enciclopedia di italiano

  • Punto Put — Saltar a navegación, búsqueda Punto Put es el sitio geográfico en México donde convergen los estados de Yucatán, Campeche y Quintana Roo, en la península de Yucatán. En algunos mapas antiguos en idioma inglés es denominado simplemente Poot [1] o… …   Wikipedia Español

  • Punto crítico — Saltar a navegación, búsqueda Un típico diagrama de fase. La línea con puntos muestra el comportamiento anómalo del agua. La línea verde marca el punto de congelación y la línea azul, el punto de ebullición. Se muestra como ellos varían con la… …   Wikipedia Español

  • límite — sustantivo masculino 1. Línea real o imaginaria que separa dos cosas: Han pintado los límites de los nuevos aparcamientos. Nunca he llegado hasta los límites de la finca. 2. Momento final o más intenso de una situación: Ha llegado al límite de… …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • Límite de fluencia — Límite de fluencia. El límite de fluencia es el punto a partir del cual el material se deforma plásticamente. Hasta esa tensión el material se comporta elásticamenente, siguiendo la ley de Hooke, y por tanto se puede definir el módulo de Young.… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”