Función recíproca

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Para otros usos de este término, véase Inverso multiplicativo.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ ^–1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ ^–1 lleva 3 de vuelta en a.

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f ^-1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ^-1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Definiciones formales

Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f ^-1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

$f(x) = y\Leftrightarrow{}f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!$

Destaquemos que f ^-1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

• $f^{-1} \circ f = id_i$ y
• $f \circ f^{-1}=id_j$.

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

1. $g \circ f = id_I$ y
2. $f \circ g=id_J$,

entonces:

• Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
• Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
• Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.

Notación alternativa

La notacion tradicional f ^{− 1} puede ser confusa. Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

• $f^\star:B \rightarrow A$ como alternativa a $f^{-1} \,$.

Propiedades algebraicas

Inversión del orden en la composición de funciones.

• La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g^–1 y terminar con f^–1,

• La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:

$\left(f^{-1}\right)^{-1} = f$

Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: $f^{-1} \circ f = Id_{X}$ y $f \circ f^{-1} = Id_{Y}$.

Propiedades analíticas de funciones reales de una variable

Continuidad

• f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también lo será la otra. Sin embargo, es posible que ninguna lo sea: Por ejemplo se puede definir f así: si x es racional, f(x) = x, y si es irracional, f(x) = -x. En este caso muy particular g = f.

• Además, en tal caso f y g son monótonas y tienen el mismo sentido de variación (ver la figura).
  

Gráfica de la función inversa

Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2.

• Las gráficas que representan f y g son simétricas con relación a la primera diagonal, es decir, la recta Δ: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M´(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M´ pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.

• Las tangentes en M y M´ tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)· f '(x) = 1.

Derivabilidad

• f y g son simultáneamente derivables: Si una lo es, también lo será la otra, con tal de aceptar valores infinitos de las derivadas de f y g.

• Además, en tal caso, para cualquier x de I, si notamos y = f(x), entonces por regla de la cadena tenemos que g'(y)· f'(x) = 1. La derivada de g se obtiene así fácilmente a partir de la de f (vean los ejemplos al final).

Ejemplos

• Por construcción misma, la función raíz cuadrada es la recíproca de la función "cuadrada" con dominio los reales no negativos, $x \rightarrow x^2$ Es decir, las dos funciones siguientes son una recíproca de la otra:

$\begin{cases} f:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto x^2 \end{cases} \qquad \begin{cases} g:\R^+ \to \R^+ \\ x \mapsto \sqrt{x} \end{cases} \qquad f\circ g (x)= g\circ f (x) = x$

• Más generalmente, la raíz positiva de orden n de un número positivo es la recíproca de $x \rightarrow x^n$.
• También por construcción, la exponencial es la recíproca del logaritmo.
• Por definición misma, arccos, arcsen y arctan son las recíprocas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente, lo que permite hallar sus derivadas:

Para f(x) = cos(x) = y, g(y) = f ^{− 1}(y) = arccos(y), y utilizando cos ²(x) + sin ²(x) = 1 se obtiene: $g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{-\sin(x)} = \frac{1}{-\sqrt{1-\cos^2(x)}} = \frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}$

Para f(x) = tan(x) = y, g(y) = f ^{− 1}(y) = arctan(y), y utilizando tan '(x) = 1 + tan ²(x) se obtiene: $g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(x)} = \frac{1}{1+y^2}$

Se generaliza el concepto de función recíproca a otros conjuntos de números, en particular a los complejos, donde el logaritmo (con un dominio restringido) y la exponencial siguen siendo funciones recíprocas.

• En otras ocasiones una función inversa puede existir y estar bien definida pero no pude escribirse en términos de funciones elementales, como sucede con la función f:

$\begin{cases} f:\R \to [-1,1]\\ x \mapsto \cfrac{1}{2\pi}\left[ \ln\left(\cfrac{x^2+x\sqrt{2}+1}{x^2-x\sqrt{2}+1}\right) + 2\arctan(x\sqrt{2}+1)+2\arctan(x\sqrt{2}-1) \right] = \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k x^k}{4k+1}\end{cases}$

Aunque la función recíproca se puedde aproximar como serie de Taylor:

$f^{-1}(x) \approx x + \frac{x^5}{5} + \dots$

Véase también

• Teorema de la función inversa, condiciones suficientes para la existencia de una función inversa continua y diferenciable.