Producto de Cauchy

Producto de Cauchy

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En matemáticas, el producto de Cauchy, (en honor a Augustin Louis Cauchy), de dos series estrictamente formales (aunque no necesariamente convergentes)

$\sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,$

por lo general, de números reales o complejos, se define mediante una convolución discreta. Siendo el producto de Cauchy:

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n,\qquad\mathrm{donde}\ c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$

para n = 0, 1, 2,...

"Formal" significa que las series se manipulan sin prestar atención a aspectos de convergencia. No es preciso que las series sean convergentes. Véase por ejemplo series de potencia formales.

Es de esperar, que por analogía con las sumas finitas, en el caso en que las dos series fueran convergentes, la suma de la serie infinita

$\sum_{n=0}^\infty c_n$

sea igual al producto

$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)$

de la misma manera en que esto sería correcto cuando cada una de las dos sumas que se multiplican posee un número finito de términos.

En casos suficientemente bien comportados, se cumple con la expresión anterior. Pero—y este es un punto importante—el producto de Cauchy de dos sucesiones existe aún en el caso que una o ambas de las series infinitas correspondientes no fueran convergentes.

Ejemplos

Serie finita

x_i = 0 para todo i > n y y_i = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de $\sum x$ y $\sum y$ se verifica es $(x_0+\cdots + x_n)(y_0+\dots+y_m)$. Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita

• Primer ejemplo. Para alguna $a,b\in\mathbb{R}$, sea $x_n = a^n/n!\,$ y $y_n = b^n/n!\,$. Entonces

$C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}$

por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente, $\exp(a) = \sum x$ y $\exp(b) = \sum y$, se ha demostrado que $\exp(a+b) = \sum C(x,y)$. Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo $a,b\in\mathbb{R}$.

• Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo $n\in\mathbb{N}$. Entonces C(x,x)(n) = n + 1 para todo $n\in\mathbb{N}$ por lo tanto el producto de Cauchy $\sum C(x,x) = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots)$ y no es convergente.

Convergencia y teorema de Mertens

Artículo principal: Teoremas de Mertens

Sean x, y sucesiones reales. Franz Mertens demostró que si la serie $\sum y$ converge a Y y la serie $\sum x$ converge absolutamente a X entonces el producto de Cauchy de ellas $\sum C(x,y)$ converge a XY. No es suficiente con que ambas series sean condicionalmente convergentes. Por ejemplo, la sucesión x_n = ( − 1)ⁿ / n genera una serie condicionalmente convergente pero la sucesión C(x,x) no converge a 0. Ver la demostración a continuación.

Demostración del teorema de Mertens

Sea $X_n = \sum_{i=0}^n x_i$, $Y_n = \sum_{i=0}^n y_i$ y $C_n = \sum_{i=0}^n C(x,y)(i)$. Entonces $C_n = \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^i x_k y_{i-k} = \sum_{i=0}^n Y_i x_{n-i}$ si se reordena. Por lo tanto $C_n = \sum_{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+YX_n$. Fijando un ε > 0. Dado que $\sum x$ es absolutamente convergente y $\sum y$ es convergente entonces existe un entero N tal que para todo $n\geq N$ $|Y_n-Y|< \frac{\epsilon/4}{\sum_{n=0}^\infty |x_n|+1}$ y un entero M tal que p[ara todo $n\geq M$ $|x_{n-N}|<\frac{\epsilon}{4N\sup |Y_n-Y|+1}$ (dado que la serie converge, la sucesión debe converger a 0). También, existe un entero L tal que si $n\geq L$ entonces $|X_n-X|<\frac{\epsilon/2}{|Y|+1}$. Por lo tanto,

$|C_n - XY| = |\sum_{i=0}^n (Y_i-Y)x_{n-i}+Y(X_n-X)| \leq \sum_{i=0}^{N-1} |Y_i-Y||x_{n-i}|+\sum_{i=N}^n |Y_i-Y||x_{n-i}|+|Y||X_n-X|<\epsilon$

para todos los enteros n mayores que N, M, y L. Por la definición de convergencia de una serie $\sum C(x,y)\to XY$.

Teorema de Cesàro

Si x e y son sucesiones reales y $\sum x\to A$ y $\sum y\to B$ entonces $\frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^n C(x,y)_n\right)\to AB$

Generalizaciones

Todo lo enunciado en las secciones precedentes es aplicable a las sucesiones de números complejos $\mathbb{C}$. Se puede definir también el producto de Cauchy para series en espacios euclídeos $\mathbb{R}^n$ donde la multiplicación es el producto interno. En este caso, se verifica que si dos series convergen en forma absoluta entonces su producto de Cauchy converge en forma absoluta al producto interno de los límites.

Obtenido de "Producto de Cauchy"