Principio de los trabajos virtuales

El principio de los trabajos virtuales es un método utilizado en resistencia de materiales para el cálculo de desplazamientos reales en estructuras isostáticas e hiperestáticas, y para el cálculo de las incógnitas que no podemos abordar con el equilibrio en las estructuras hiperestáticas. El principio de los trabajos virtuales puede derivarse del principio de d'Alembert, que a su vez puede obtenerse de la mecánica newtoniana o más generalmente del principio de mínima acción.

Formulación

Dado un sólido deformable impedido hacer movimientos de sólido rígido, es decir, con un número de grados de libertad no positivo, el principio de los trabajos virtuales establece que si inventamos un campo de desplazamientos $\mathbf{u}(\mathbf{x})$ compatible con los enlaces existentes, llamado campo de desplazamientos virtual, que impiden el movimiento de sólido rígido se cumplirá que el trabajo virtual externo y el trabajo virtual interno serán iguales,

$W_e = \sum_{i=1}^n F_i\delta_i = W_i = \int_V \left( \sum_{i,j} \sigma_{ij}\varepsilon_{ij}\right) dV$

Donde las deformaciones y tensiones en la ecuación anterior deben calcularse a partir del campo de desplazamientos virtual:

(1) $\begin{cases} \varepsilon_{ij} = \cfrac{1}{2}\left(\cfrac{\part u_i}{\part x_j}+\cfrac{\part u_i}{\part x_j} \right) \\ \sigma_{ij} = f(\varepsilon_{kl}) \end{cases}$

Aplicación a vigas rectas

La fórmula anterior se simplifica substancialmente si se aplica al caso de una viga recta, ya que en ella los trabajos interno y externo vienen dados por:

$\begin{cases} W_e = \sum_{i=1}^n F_i\delta_i \\ W_i = \int_L \left( N_x \varepsilon_{x} + M_z \chi_z + M_y \chi_y + T_y\gamma_{xy} + T_z\gamma_{xz} + M_T \theta_x\right) ds \end{cases}$

Donde:

$T_y, T_z\;$, son los esfuerzos cortantes producidos por el campo de desplazamientos.

$M_T\;$, es el momento torsor producido por el campo de desplazamientos.

$M_y, M_z\;$, son los momentos flectores producidos por el campo de desplazamientos.

Y los desplazamientos, en el caso de una viga que flecta sólo en el plano XY, pueden ser calculados a partir de los desplazamientos horizontal u(s) y vertical v(s) a lo largo de la viga:

$\varepsilon_{x} = \frac{du}{ds} \qquad \gamma_{xy} = \frac{dv}{ds} \qquad \chi_z = \frac{d^2v}{ds^2}$

La igualdad (1) puede aplicarse para el cálculo de reacciones hiperestáticas, para ello basta elegir un desplazamiento virtual adecuado.

Aplicación al cálculo plástico

El cálculo plástico de estrucutras de barras asume que para un cierto intervalo del momento flector la estrucutra responde de manera elástica lineal, y a partir de un cierto valor los incrementos sucesivos de la carga generan rótulas plásticas que disminuyen el grado de hiperestaticidad de una estrucutura. Cuando por efecto de la acumulación sucesiva de rótulas plásticas debido a la carga, el la estructura se vueleve isostática, la siguiente rótula que aparezca convertirá la estructura en un mecanismo subdeterminado y por tanto la estructura colapsará abruptamente moviéndose según un mecanismo identificable según el orden de formación de las rótulas. En este caso el trabajo interno vendrá dado por el número de rótulas y el momento plástico $\scriptstyle M_{P,i}$ máximo resistido por cada rótula y el ángulo de giro en torno a cada una:

$W_i = \sum_k M_{P,k}\theta_k \approx \Delta t \sum_k M_{P,k}\dot\theta_k$

Este trabajo debe igualar el trabajo exterior hecho por las fuerzas que actúan sobre la estrucutra provocando la aparición de rótulas y enventualmente produciendo el colapso de la estrucutra:

$W_e = \sum_k P_k(t)\delta_k + \sum_j \int q_j(x)dx + \dots$

Igualando las potencias (derivada temporal de los trabajos) de las dos ecuaciones anteriores, se obtiene una ecuación en la que es posible despejar la carga máxima (siempre y cuando se haya especificado un proceso de puesta en carga del elemento en cuestión). Tanto el mecanismo de fallo como la carga última resistida van a depender del proceso de carga, por lo que el orden de las cargas y como se aumentan hasta su valor nominal es una cuestión importante en el cálculo plástico, donde el estado final depende de la variación de las cargas con el tiempo. Esto contrasta con el caso elástico donde el estado final solo depende del valor final de las cargas, no del proceso de carga. Esto se debe a que en la teoría de la elasticidad.

Referencias

Bibliografía

• Tauchert, T.R. Energy Principles in Structural Mechanics, McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
• Washizu, K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8
• Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods, CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7