Polinomios simétricos

Polinomios simétricos

Polinomios simétricos

En matemáticas, un polinomio simétrico es un anillo de polinomios en n variables P(X1,X2,...,Xn), tal que si intercambiamos alguna de las variables el polinomio sigue siendo el mismo.

Ejemplos

Estos polinomios:

  • P(X_1, X_2) = X_1^3+ X_2^3-7
  • P(X1,X2) = 4X1X2
  • P(X1,X2,X3) = X1X2X3 − 2X1X2 − 2X1X3 − 2X2X3

son todos simétricos. El polinomio P(X1,X2) = X1 − X2 no es simétrico, ya que si intercambiamos X1 y X2 obtenemos el polinomio X2 − X1, que no es el mismo.

Los ladrillos constituyentes de los polinomios simétricos

Para cada n, existen n polinomios simétricos elementales en las variables X1,X2,...,Xn. Son los ladrillos constiyutentes para todos los polinomios simétricos en dichas variables, lo que quiere decir que todo polinomio simétrico en n variables puede obtenerse a partir de estos polinomios elementales mediante multiplicaciones y sumas. Más concretamente: cualquier polinomio simétrico en n variables es un polinomio de los n polinomios elementales simétricos en dichas variables. Por ejemplo, para n=2, sólo hay dos polinomios simétricos elementales, X1 + X2 y X1X2. El primer polinomio de la lista de arriba puede entonces escribirse como sigue:

P(X_1, X_2) = X_1^3+ X_2^3-7=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)-7.

Véase también

  • función simétrica - este término es empleado a veces para referirse a los polinomios simétricos.
Obtenido de "Polinomios sim%C3%A9tricos"

Wikimedia foundation. 2010.

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