Polinomio de Bernstein

Polinomio de Bernstein

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Los polinomios de Bernstein o polinomios en la base de Bernstein son una particular clase de polinomios (en el campo de los números reales), tales polinomios son utilizados dentro del ámbito del análisis numérico. El nombre hace referencia al matemático ucraniano Sergei Natanovich Bernstein.

El algoritmo de evaluación más numéricamente estable es el de de Casteljau.

Definición

Un polinomio de Bernstein P(x) de grado n procede de la fórmula:

$P(x) = \sum_{k=0}^n {c_k B^n_k (x)}$

donde los $B^n_k(\cdot)$ son elementos de la base de los polinomios de Bernstein, definidos de:

$B^n_i (x) = {n \choose i} x^i (1 - x)^{n - i} \quad \textrm{si } \quad x \in [0,1];$

o, más en general:

$B^n_i (x) = {n \choose i} {(b-x)^{n-i}(x-a)^i \over (b-a)^n} \quad \textrm{si}\quad x \in [a,b];$

(aquí ${n \choose i}$ es el coeficiente binomial).

Propiedades

Los polinomios de base de Bernstein forman una combinación convexa, en efecto, resulta que:

• $\forall i \quad B_i^n(x) \geq 0$
• $\sum_{i=0}^n B_i^n(x) = 1$

Escala y traslación

La modificación por escala y traslación de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestión.

Ejemplo

Archivo:Basi Bernstein grado 2.png

Representación de la base de Bernstein para polinomios de grado 2.

En el caso de un polinomio de grado 2 la base en [0,1] está compuesta de:

• $B^2_0 (x) = {2 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{2 - 0} = (1 - x)^2$
• $B^2_1 (x) = {2 \choose 1} x^1 (1 - x)^{2 - 1} = 2 x (1 - x)$
• $B^2_2 (x) = {2 \choose 2} x^2 (1 - x)^{2 - 2} = x^2$

Un polinomio expresado en esta base tendría entonces la forma:

$P(x) = c_0 B^2_0(x) + c_1 B^2_1(x) + c_2 B^2_2(x)$

Descripción

Para un grado m, existen m+1 polinomios de Bernstein $B^m_0,\dots,B^m_m$ definidos sobre el intervalo [0,1], por

$B_i^m(u) = \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} u^i \left( 1-u \right)^{m-i}$,

donde las $\begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix}$ son los coeficientes binomiales.

Estos polinomios presentan cuatro propiedades importantes :

1. Partición de la unidad  : $\qquad \sum_{i=0}^m B_i^m(u) = 1, \qquad \forall u \in [0,1]$
2. Positividad  : $B_i^m(u) \geq 0, \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m$
3. Simetría : $B_i^m(u) = B_{m-i}^m(1-u), \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m$
4. Fórmula de recurrencia : $B_i^m(u) = \begin{cases} (1-u)B_i^{m-1}(u),& i = 0\\ (1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u),&\forall i \in 1 \dots m-1\\ uB_{i-1}^{m-1}(u),& i = m \end{cases} , \qquad \forall u \in [0,1]$.

Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la ley binomial.

Ejemplo de polinomios de Bernstein de grado 3

Aplicaciones

Los polinomios de Bernstein son utilizados para demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass y por esto son también utilizados para efectuar aproximaciones e interpolaciones de funciones como, por ejemplo, la curva de Beziér, así como para la estimación de las funciones de densidad de probabilidad:

Para n que tiende al infinito, el polinomio converge uniformamente hacia la función f (x), o sea

$|B_n(x)-f(x)| \le 5/4\ \omega (f, 1/\sqrt n)$

donde

$\omega (f, \delta) = sup_{|h| \le \delta} |f(x+h)-f(x)|$, llamado módulo de continuidad.

Véase también

• Algoritmo de de Casteljau
• Curva de Beziér
• Aproximación de Bernstein, permite aproximar uniformemente funciones continuas.

Obtenido de "Polinomio de Bernstein"