Permutación

Permutación

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En matemáticas, dado un conjunto finito con todos sus elementos diferentes, llamamos permutación a cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de dicho conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

La noción de permutación suele aparecer en dos contextos:

• Como noción fundamental de combinatoria, centrándonos en el problema de su recuento.
• En teoría de grupos, al definir nociones de simetría.

Definición alternativa

La permutación antes citada "1,3,2" puede verse como la imagen de una aplicación σ de la lista inicial de objetos (1, 2, 3) en la lista de objetos reordenados (1, 3, 2). De este modo σ(1)=1, σ(2)=3 y σ(3)=2. También podemos definir a la permutación como la propia aplicación σ.

Así, formalmente, una permutación de un conjunto X es una biyección de X en sí mismo.

Aunque esta segunda definición generaliza a la primera al admitir conjuntos infinitos, el término permutación se usa principalmente para un conjunto finito X, y así lo haremos en el resto del artículo.

En combinatoria

La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado respetando ciertas reglas. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las combinaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla.

Un tipo importante de esas combinaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas diferentes que pueden construirse a partir de dicho conjunto.

Recuento del número de permutaciones

Dado un conjunto finito y ordenado $A \,\!$ de $n\,\!$ elementos, el número de permutaciones diferentes posibles es $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\,\!$.

Demostración

Dado que hay $n \,\!$ formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos $(n-1) \,\!$ formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos $(n-k+1) \,\!$ posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos $n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 \,\!$ formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. $\Box \,\!$

Recuento del número de conjuntos ordenados de k elementos con k<n

Dado un conjunto A finito de cardinal n, tenemos $P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$ formas de construir un conjunto ordenado B de k elementos donde $k \leq n$.

Ejemplo

Del conjunto {a,b,c} compuesto por 3 elementos (n=3) es posible formar 3!/(3-2)!=6 nuevos conjuntos de 2 elementos (k=2). Estos son: {a,b}, {a,c}, {b,a},{b,c}, {c,a} y finalmente {c,b}

A éste número se le llama permutaciones de n en k. Otras notaciones son $P^n_k$ o $\left[{n\atop k}\right]$ (en algunas partes del mundo se le conoce como variaciones y se denota $V^n_k$ ).

Demostración

Basta demostrar que las permutaciones están ligadas al coeficiente binomial mediante la siguiente identidad:

$P(n,k) = k!\,C(n,k)$

Para ello, dado que el coeficiente binomial es la cantidad de conjuntos finitos de k elementos formados a partir de los elementos de un conjunto de n elementos, donde $n \geq k$ y cualquier conjunto finito con cardinal k se puede ordenar de k! maneras diferentes. $\Box$

Observamos que para k=n recuperamos la fórmula de recuento de permutaciones y que para k=1, P(n,1)=n.

En Teoría de grupos

Notaciones

Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.

La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado {1,...,8} podemos expresar una permutación σ sobre éste mediante una matriz de correspondencias:

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 2 \end{pmatrix}$

Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa σ ^{− 1} de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 6 & 8 & 1 & 2 & 3 & 5 & 4 & 7 \end{pmatrix}$

Notación de ciclos

Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes.

Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:

1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.
2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.
3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.

Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, σ quedaría expresada como composición de dos ciclos:

σ= (1 3 5 6 )(2 4 7 8)

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos

La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:

σ = (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)=(7 8 2 4)(6 1 3 5)

La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

Descomposición de una permutación en trasposiciones

Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2.

Las trasposiciones nos servirán para descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas.

Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).

Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo de nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:

$(a_1,\ldots, a_n) = (a_1,a_2)(a_2,a_3)\cdots(a_{n-1},a_n).$

No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de trasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si σ admite dos descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares).

Permutación par y permutación impar

Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de trasposiciones.

Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en notación de ciclos:

• (1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares.
• (1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones.
• e (la identidad) también es par.

En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares.

Estructura de grupo

Artículo principal: grupo simétrico

Dado un número natural $n \geq 1$, consideramos el conjunto X = {1,2,...,n}. Definimos el grupo de permutaciones de n elementos, que denotaremos por S_n, o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de X a X.

Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo S_n, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por A_n.

Véase también

• Ciclo (permutación)
• Matriz permutación

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