Orden monomial

En Álgebra, un orden monomial es una ordenación del conjunto de monomios de un anillo, que se utiliza para poder establecer un algoritmo de división en polinomios de varias variables.

Definición

Sea R un anillo conmutativo y S: = {x₁,...,x_n} un conjunto de indeterminadas. Sea $\mathcal{M}$ el conjunto de monomios sobre S (como es habitual, denotamos por X al monomio $x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n$, y dado el multiíndice $\alpha = (\alpha_1, ..., \alpha_n)\in \mathbb{N}^n$, denotarmos por X^α al monomio $x_1^{\alpha_1} \cdot ... \cdot x_n^{\alpha_n}$; aquí entenderemos por monomios a productos de indeterminadas, sin coeficientes en el anillo). Se dice que < es un orden monomial si se cumple que:

• < es un orden total en $\mathcal{M}$.

• Dados $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}^n$ de manera que X^α < X^β, entonces se cumle que X^αX^γ < X^βX^γ.

En algunos textos se exige otra condición, la de que < sea un buen orden en $\mathcal{M}$. Nosotros denominaremos orden monomial global a todo orden monomial que también es buen orden. Esto se hace así para permitir ciertos tipos de ordenes monomiales sobre anillos locales que resultan ser muy útiles.

Orden monomial global

Un orden monomial < sobre $\mathcal{M}$ se dice que:

• es artiniano si todo subconjunto no vacío tiene elemento mínimo (es decir, es buen orden);

• es global si toda variable es mayor que la unidad del anillo, es decir, 1 < x_i cualquiera que sea el $i \in \{1,...,n\}$;

• refina el orden parcial definido por la división si se cumple que X^α < X^β si X^α divide a X^β.

El hecho de que un orden monomial sea global es equivalente a que sea artiniano y a que refine el orden parcial definido por la división.

Orden monomial local

Un orden monomial < sobre $\mathcal{M}$ se dice que es local si la unidad del anillo es mayor que toda variable, es decir, si x_i < 1 cualquiera que sea el $i \in \{1,...,n\}$.

Referencias

• David A. Cox, John B. Little, Don O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms (Springer Verlag, 2ª edición, 1997) ISBN 0-387-9480-2.

• Wolfram Decker, Frank-Olaf Schreyer, Varieties, Gröbner Bases and Algebraic Curves.