Número primo de Sophie Germain

Un número primo p es un número de Sophie Germain si 2p+1 también es número primo. Ejemplo: con p=2, 2x2+1=5 que también es un número primo. Los números primos de Sophie Germain recibieron su nombre por la matemática francesa que demostró que el Último teorema de Fermat era cierto para estos números, esto es que, si p es un número primo de estas características distinto a 2 entonces no existen soluciones enteras no triviales para la ecuación x^p + y^p = z^p.

Se conjetura que existen infinitos números primos de Sophie Germain, pero, al igual que la conjetura de los números primos gemelos, aún no se ha demostrado.

Existen 190 números primos de Sophie Germain en el intervalo [1, 10000] (sucesión A005384 en OEIS).

   2,    3,    5,   11,   23,   29,   41,   53,   83,  113,  131,  173,
 179,  191,  233,  239,  251,  281,  293,  359,  419,  431,  443,  491,
 509,  593,  641,  653,  659,  683,  719,  743,  761,  809,  911,  953,
1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481,
1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003,
2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543,
2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299,
3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803,
3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409,
4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231,
5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053,
6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551,
6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211,
7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093,
8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221,
9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791

El mayor número primo de Sophie Germain conocido hasta la fecha (octubre de 2008) es el número $48047305725 \cdot 2^{172403}-1$ que tiene 51910 dígitos y fue hallado el 25 de enero de 2007.

Se ha propuesto una estimación heurística del cardinal del conjunto de los números primos de Sophie Germain menores que x en torno a (2C₂x) / (log x)² donde C₂ es la constante de los números primos gemelos (aproximadamente 0,660161). Pero, para x=10.000, esta estimación indicaría que hay 156 números primos de Sophie Germain, lo que representa una diferencia del 20%. Para valores mayores se puede comprobar que este error relativo disminuye.

La secuencia {p, 2p+1, 2(2p+1)+1, ...} de primos de Sophie Germain también recibe el nombre de cadenas de Cunningham de primera clase.