Número perfecto

Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.

Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

Aparte, y considerando la suma de los divisores propios existen otros tipos de números.

• Números defectivos: la suma de los divisores propios es menor que el número.
• Números abundantes: la suma es mayor que el número.
• Números amigos: a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y viceversa.
• Números sociables: como los amigos, pero con un ciclo mayor de números.

Historia

El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula $2^{n-1}\cdot(2^{n}-1)$:

n = 2:   2¹ × (2² – 1) = 6

n = 3:   2² × (2³ – 1) = 28

n = 5:   2⁴ × (2⁵ – 1) = 496

n = 7:   2⁶ × (2⁷ – 1) = 8.128

Al darse cuenta que 2ⁿ – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2^n–1(2ⁿ – 1) genera un número perfecto par siempre que 2ⁿ – 1 es primo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 2¹¹ – 1 = 2.047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:

1. El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
2. Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.

El quinto número perfecto (33.550.336) tiene 8 dígitos, contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8.589.869.056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto par expresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)

Fue en 1603 que Pietro Cataldi halló los números perfectos sexto y séptimo, 2¹⁶(2¹⁷ – 1) = 8.589.869.056 y 2¹⁸(2¹⁹ – 1)= 137.438.691.328.^[1]

Es verdad que si 2ⁿ – 1 es un número primo, entonces 2^n–1(2ⁿ – 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2ⁿ – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne, quien estudió teoría de números y números perfectos.

Posteriormente, Leonhard Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.

No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales al respecto. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10³⁰⁰, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 10⁷, dos de ellos deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.

Otras propiedades de los números perfectos pares

Son números triangulares

Un número triangular es de la forma $\textstyle \frac{n^2+n}{2}$, donde «n» es un número entero positivo cualquiera distinto de cero.

Si partimos de la identidad $\scriptstyle 2^{p-1}\left(2^p-1\right)=\frac{\left(2^p -1\right) +1}{2}\left(2^p-1\right)$ y distribuimos el producto del lado derecho obtenemos:

$2^{p-1}\left(2^p-1\right)=\frac{\left(2^p-1\right)^2+\left(2^p-1\right)}{2}$.

La expresión 2^p − 1 es un número primo de Mersenne y vemos que el término derecho de la identidad adopta la forma correspondiente a la definición de número triangular. Podemos afirmar que un número perfecto par es un número triangular y su orden es un número primo de Mersenne.

Son números combinatorios o coeficientes del binomio

Como todos los números triangulares están en la tercera columna del triángulo de Pascal y acabamos de ver que todo número perfecto par es un número triangular, los números perfectos son también números combinatorios. $\textstyle {2^p\choose 2}$, donde 2^p es la potencia correspondiente a un número primo de Mersenne aumentado en una unidad.

Son números hexagonales

Un número hexagonal es de la forma n(2n − 1) = 2n² − n, para «n» un número entero positivo cualquiera distinto de cero. Surge inmediatamente de la identidad $2^{p-1}\left(2^p - 1\right) = 2^{p-1}\left(2\cdot2^{p-1}-1\right)$, llamando «n» al número 2^{p − 1}.

Cuestiones abiertas

Por cuestión abierta se entiende una propiedad de la que todavía no se tiene una demostración, tanto de su afirmación como de su negación. Son cuestiones abiertas:

• Determinar si existen infinitos números perfectos. Hasta el año 2008 se conocen 46 números perfectos.
• Demostrar la imposibilidad de un número perfecto impar o encontrar uno.

Implementación en informática

En C++ se puede escribir un código como el que encontramos a continuación para distinguir si un numero es perfecto. El método usado es el más eficiente, con coste Log(n).

bool es_perfecto (int n) {
   int sum=1;
   for (int compt=2; compt*compt<=n ; ++compt) {
           if (compt*compt==n) sum=sum+compt;
           else if (n%compt==0) {
               sum=sum+compt;
               sum = sum + n/compt;
           }
       
   }
   if (sum==n and n!=0 and n!=1) return true;    
   else return false;
}

En java:

 public static boolean perfecto(int n) {
       return divisores(n) == n;
 }

 public static int divisores(int n) {
       int suma = 1;
       for (int i = 2; i < n; ++i) {
               if (n%i == 0) suma += i;
       }
       return suma;
 }

En Python:

 def perfecto(n):
     return divisores(n) == n

 def divisores(n):
     suma = 1
     for i in range(2, n):
         if n%i == 0: suma += i
     return suma

Referencias

1. ↑ Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9. 

Véase también

• Números amigos
• Números sociables

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Número perfecto» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Determinación geométrica de los números primos y perfectos
• Historia de los números perfectos