Paradoja de los números interesantes


Paradoja de los números interesantes

La paradoja de los números interesantes, que se sirve de algunas propiedades matemáticas pero que puede catalogarse más adecuadamente como humorística, busca demostrar que todos los números naturales (1,2,3......etc) son "interesantes". Los llamados números interesantes se originan de la costumbre entre los matemáticos y también aficionados, de encontrar propiedades curiosas en ciertos números, que por poseerlas se consideran más bien números interesantes que aburridos.

Contenido

Anécdota de Hardy y Ramanujan

Es conocida la anécdota de la charla entre Hardy y Ramanujan, en la que el primero le manifestara que el número 1729 era muy aburrido, lo que dio lugar a la inmediata reacción de Ramanujan quien afirmó que dicho número es muy interesante puesto que se trata del número más pequeño que puede expresarse como la suma de dos cubos (positivos) de dos maneras diferentes. [1] La "demostración" que sigue encubre en realidad una paradoja.

Demostración

Supongamos que existen números que no son interesantes. Entonces podemos efectuar una partición de los números naturales en dos subconjuntos, por una parte los números interesantes y por otra parte los números aburridos. Ahora bien, como en todo subconjunto de números naturales existe siempre uno que es más pequeño que todos los otros, [2] el subconjunto de los aburridos tiene un número que es el más pequeño de este grupo. Pero en razón de tal propiedad, ese número se transforma en un número interesante: se trata en efecto del más pequeño de los números aburridos. Este nos coloca en la obligación de sacarlo de este grupo y ponerlo en el de los interesantes. Pero ahora un nuevo número dentro de los aburridos será el más chico y por la misma razón tendremos que trasladarlo al subconjunto de los interesantes y así sucesivamente hasta que quede un solo número no interesante. Pero este último número tiene la interesantísima propiedad de ser el único número no interesante, habrá también que trasladarlo al grupo de los interesantes y con esto, el grupo de los números no interesantes se transformó en un conjunto vacío. Nuestra suposición inicial nos hizo desembocar en una contradicción o aporía, lo que demuestra que tal suposición era falsa. Entonces tenemos que concluir que no existen números que no son interesantes.

Carácter paradójico

La "demostración" precedente, que tiene la apariencia formal de una reductio ad absurdum (reducción al absurdo), no puede en realidad calificarse de tal por cuanto utiliza a tal fin la ambigua propiedad "ser interesante". En efecto, tal calificativo no tiene una entidad matemática suficientemente precisa y objetiva para poder ser utilizada como un criterio para "particionar" un conjunto, contrariamente a lo que podría hacer utilizando por ejemplo la propiedad "ser un número par", con la cual se pueden establecer clara e indistintamente una partición en pares y no pares (impares), o como con la propiedad "ser un número primo". En efecto, esto también puede expresarse diciendo que la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto debe ser siempre perfectamente discernible, es decir, que la afirmación "x pertenece al conjunto M" debe poder calificarse sea como verdadera sea como falsa sin ambigüedad alguna. [3]

Véase también

Referencias

  1. En efecto: 10^3 + 9^3 = 1000+729=1729 y 12^3+1^3 = 1728+1=1729. No existe ningún número más pequeño que 1729 que pueda expresarse de dos maneras como la suma de dos cubos.
  2. Es decir, se trata de un conjunto "bien ordenado". Esta propiedad la expresamos (informalmente) diciendo que todo subconjunto no vacío de números naturales tiene siempre un elemento que es el más pequeño entre todos los que pertenecen a dicho subconjunto. Para una definición más formal puede verse el artículo sobre conjunto bien ordenado.
  3. Ver artículos sobre conjunto y teoría de conjuntos. En realidad, la exigencia de dicernibilidad absoluta es típica de la teoría clásica de conjuntos. Más recientemente se desarrolló el concepto de subconjunto difuso (fuzzy set) que permite atribuir de "grados de pertenencia" de un elemento a un conjunto, que se escalonan desde cero (no pertenencia) a uno (pertenencia cierta).

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