Número periódico

Un número periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como $\tfrac{1}{3}=0,\boldsymbol{3}\,333\dots$ o $\tfrac{1}{7}=0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots$

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo $\tfrac{2}{3} = 0, \widehat{6}$ o $\tfrac{12}{11} = 1, \widehat{09}$.

Tipos de números periódicos

Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.

• Ejemplo: $0,999\dots$

Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.

• Ejemplo: $1.23444\dots = 1.23 \bar{4}$, en donde 23 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico

Números periódicos
$\begin{array}{l} 1/9 = 0,111111111111...\\ 1/7 = 0,142857142857...\\ 1/3 = 0,333333333333...\\ 2/27 = 0,074074074074...\\ 7/12 = 0,58333333333...\end{array}$

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

$\begin{alignat}2 x &= 0,333333\ldots\\ 10x &= 3,333333\ldots&\quad&\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}\\ 9x &= 3 &&\text{(restando segunda fila menos primera fila)}\\ x &= 3/9 = 1/3 &&\text{(simplificando)}\\ \end{alignat}$

Otro ejemplo:

$\begin{align} x &= 2,85636363\ldots\\ 100x &= 285,63636363\ldots\\ 99x &= 282,78 \\ x &= \frac{282,78}{99} = \frac{28278}{9900} = \frac{1571}{550}. \end{align}$

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo: $5,34\ 34\dots=\frac{534-5}{99}=\frac{529}{99}$

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo: $12,345\ 67\ 67\ 67\dots=\frac{1234567-12345}{99000}=\frac{1222222}{99000}=\frac{611111}{49500}$.

Tipo de número periódico resultante

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo: $\tfrac{7}{20}$, como 20=2×2×5, será exacta; en efecto $\tfrac{7}{20}=0,35$

Otro ejemplo: $\tfrac{7}{25}$, como 25=5×5, será exacta; en efecto $\tfrac{7}{25}=0,28$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo $\tfrac{5}{21}$, como 21=3×7, será periódica pura; en efecto $\tfrac{5}{21}=0,238095\ 238095\ 238095\dots$

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo $\tfrac{5}{42}$, como 42=2×3×7, será periódica mixta; en efecto $\tfrac{5}{42}=0,1\ 190476\ 190476\ 190476\dots$

Referencias

• Jimenez Hernández, José de Jesús. Matemáticas 1. Ediciones Umbral. p. 66. 
• Weisstein, Eric W. "Repeating Decimal." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RepeatingDecimal.html

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