Número plateado

El número plateado o razón plateada es una constante matemática. Su nombre es una alusión a la razón áurea; análoga a la forma en que el número áureo es la proporción limitante de la sucesión de Fibonacci, el número plateado es la proporción limitante de la sucesión de Pell. El término número plateado a veces es confundido con el número plástico.

Definición

La razón plateada (δ_S) es un número irracional definido por la suma de 1 y la raíz cuadrada de 2. Esto es:

$\delta_S = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414\, 213\, 562\, 373\, 095\, 048\, 801\, 688\, 724\, 210...$

Se sigue de esta definición que:

$(\delta_S-1)^2=2\,$

Fracción continua

En fracción continua, la razón plateada [2,2,2,...] se expresa:

$\delta_S = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}}}$

Propiedades

No equidistribución mod 1

En las aproximaciones diofánticas, la secuencia de partes fraccionales de

xⁿ, n = 1, 2, 3, ...

Se puede ver que la equidistribución mod 1, para casi todos los números reales que x > 1. La razón plateda es una excepción.

Potencias de la razón plateada

Las potencias inferiores de la razón plateada son:

$\!\ \delta_S^0 = 1$

$\delta_S^1 = \delta_S + 0$

$\delta_S^2 = 2\delta_S + 1$

$\delta_S^3 = 5\delta_S + 2$

$\delta_S^4 = 12\delta_S + 5$

Las potencias continúan con el patrón

$\!\ \delta_S^n = K_n\delta_S + K_{(n-1)}$

donde

$\!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)}$

Por ejemplo, empleando esta propiedad:

$\!\ \delta_S^5 = 29\delta_S + 12$

Empleando $\!\ K_0 = 1$ y $\!\ K_1 = 2$ como condición inicial, una fórmula tipo-Binet daría la solución en forma recurrente...

$\!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)}$

lo cual acaba siendo...

$\!\ K_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} {(\delta_S^{n+1} - {(2-\delta_S)}^{n+1})}$

Expresiones plateadas

La expresión general $[n,n,n,\dots]=\frac{1}{2}\left(n+\sqrt{n^2+4}\right)$ se conoce con el nombre de expresión plateada. La razón dorada es una expresión plateada para n = 1, mientras que la razón plateada es para n = 2. Los valores de las diez primeras razones plateadas se muestran a la derecha.^[1]

Expresiones plateadas
0	0 + √1	1
1	½ + √1¼	1.618033989
2	1 + √2	2.414213562
3	1½ + √3¼	3.302775638
4	2 + √5	4.236067978
5	2½ + √7¼	5.192582404
6	3 + √10	6.162277660
7	3½ + √13¼	7.140054945
8	4 + √17	8.123105626
9	4½ + √21¼	9.109772229

Propiedades de la razón plateada

Estas propiedades sólo son válidas para enteros m; para números no enteros las propiedades son similares, pero difieren ligeramente. Las propiedades mostradas más abajo para las potencias de la razón plateada son una consecuencia de las propiedades que muestran. Para la expresión de la razón plateada S de m, la propiedad puede generalizarse como

$\!\ S_{m}^n = K_{n}S_{m} + K_{(n-1)}$

donde

$\!\ K_n = mK_{(n-1)} + K_{(n-2)}$

Empleando las condiciones iniciales $\!\ K_0 = 1$ and $\!\ K_1 = m$, esta relación recurrente llega a ser ...

$\!\ K_n = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 4}} {(S_{m}^{n+1} - {(m-S_{m})}^{n+1})}$

Las potencias de la razón plateada poseen otras propiedades interesantes:

Si n es un número entero positivo y par:

$\!\ {{S_{m}^n - \lfloor S_{m}^n \rfloor} \over S_{m}^{-n}} = S_{m}^n - 1$

Además,

$\!\ {1 \over {S_{m}^4 - \lfloor S_{m}^4 \rfloor}} + \lfloor S_{m}^4 - 1 \rfloor = S_{(m^4 + 4m^2 + 1)}$

$\!\ {1 \over {S_{m}^6 - \lfloor S_{m}^6 \rfloor }} + \lfloor S_{m}^6 - 1 \rfloor = S_{(m^6 + 6m^4 + 9m^2 +1)}$

También,

$\!\ S_{m}^3 = S_{(m^3 + 3m)}$

$\!\ S_{m}^5 = S_{(m^5 + 5m^3 + 5m)}$

$\!\ S_{m}^7 = S_{(m^7 + 7m^5 + 14m^3 + 7m)}$

$\!\ S_{m}^9 = S_{(m^9 + 9m^7 + 27m^5 + 30m^3 + 9m)}$

$\!\ S_{m}^{11} = S_{(m^{11} + 11m^9 + 44m^7 + 77m^5 + 55m^3 + 11m)}$

La media de la razón plateada S de m también tiene la propiedad que:

$\!\ 1/S_{m} = S_{m}-m$

lo cual significa que la media de la expresión plateada tiene la misma parte decimal que la correspondiente expresión plateada. Empleando esta propiedad, la expresión de la razón plateada definida para todos los números debe satisfacer:

$\!\ x \equiv x^{-1} \pmod 1$

Si expandimos la expresión de la razón dorada S de m tal que

$\!\ S_{m} = a + b$

donde a es la parte entera de S y b, entonces la siguiente propiedad es cierta:

$\!\ S_{m}^2 = a^2 + mb + 1.$

Por ser (para todos los m mayores que 0), la parte entera de S_m = m, a=m. Para m>1, donde tenemos que

$\!\ S_{m}^2 = ma + mb + 1$

$\!\ S_{m}^2 = m(a+b) + 1$

$\!\ S_{m}^2 = m(S_{m}) + 1$

Por lo tanto, la expresión de la razón plateada de m es una solución de la ecuación

$\!\ x^2 - mx - 1 = 0$

Es interesante resaltar que la expresión de la expresión S of −m es la inversa de la expresión S de m.

$\!\ {1/S_m} = S_{(-m)} = S_m - m.$

Otro resultado interesante se puede obtener mediante un ligero cambio en la fórmula de la expresión. Si consideramos un número

$\!\ \frac{1}{2}\left(n+\sqrt{n^2+4c}\right) = R$

entonces las siguientes propiedades son ciertas:

$\!\ R - \lfloor R \rfloor = c/R$ si c es real,

$\!\ \left({1 \over R}\right)c = R - \lfloor \mathrm{Re}(R) \rfloor$ si c es un múltiplo de i.

Rectángulos plateados

Un rectángulo cuya relación de aspecto entre los lados sea igual a la razón plateada se denomina rectángulo plateado, por analogía con la razón dorada. Confusamente, el “rectángulo de plata” se puede también referir a un rectángulo en la proporción 1:√2, también conocido como “un rectángulo A4” en la referencia a tamaño del papel A4 definida ya en el ISO 216.

Referencias

1. ↑ Table of silver means

• Explicación del significado de la razón plateada