Número de Pisot-Vijayaraghavan

En matemáticas, un número de Pisot-Vijayaraghavan (también conocido simplemente como número de Pisot o número de PV), es un entero algebraico $\alpha\,$ que es real mayor que 1, pero sus elementos conjugados son todos menores que 1 en valor absoluto.

Por ejemplo, si $\alpha\,$ es un irracional cuadrático, entonces sólo existe un conjugado, $\alpha'\,$, obtenido cambiando el signo de la raíz cuadrada en $\alpha\,$; a partir de

$\alpha = a + b \sqrt d$

con a y b enteros, o siendo ambos la mitad de un entero impar, se obtiene

$\alpha' = a - b \sqrt d$

Las condiciones son entonces

$\alpha > 1\,$

y

$-1 < \alpha'< 1\,$

Por ejemplo, el número áureo, φ, cumple estas condiciones, ya que

$\varphi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} > 1$

y

$\varphi' = \frac{1 - \sqrt 5} 2 = \frac{-1}\varphi .$

La condición general fue investigada por G. H. Hardy en relación con un problema de aproximación diofántica. Este trabajo fue retomado por Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), un matemático indio de la región de Madrás que había viajado a Oxford para trabajar con Hardy a mediados de los años 1920. La misma condición se da en algunos problemas de series de Fourier, y fue estudiada por Charles Pisot. El nombre más común con el que se designa a estos números hace referencia a estos dos autores.

Los números de Pisot-Vijayaraghavan pueden utilizarse para generar cuasienteros: la potencia n-ésima de un número de Pisot se "aproxima" a los enteros cuando n tiende a infinito. Por ejemplo, considérense las potencias de $\phi\,$ tales como $\phi^{21} = 24476.0000409\,$. El efecto puede ser aún más acusado para los números de Pisot generados a partir de ecuaciones de grado mayor.

Esta propiedad parte del hecho de que para cada n, la suma de las potencias n-ésimas de un entero algebraico x y sus conjugados es exactamente un número entero; cuando x es un número de Pisot, las potencias n-ésimas de sus (demás) conjugados tienden a 0 cuando n tiende a infinito.

El número de Pisot-Vijayaraghavan más pequeño es la única raíz real de $x^3 - x - 1\,$, y se conoce como el número plástico (aproximadamente 1,324718).

El menos de los puntos de acumulación del conjunto de los números de Pisot-Vijayaraghavan es el número áureo $\varphi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} \approx 1.618033$. El conjunto de los números de Pisot-Vijayaraghavan no es denso en ninguna parte porque es un conjunto cerrado y numerable.

Tabla de números de Pisot

He aquí los 38 números de Pisot que son menores que 1,618, en orden ascendente.

	Valor	Raíz de...
1	1,3247179572447460260	x3 − x − 1
2	1,3802775690976141157	x4 − x3 − 1
3	1,4432687912703731076	x5 − x4 − x3 + x2 − 1
4	1,4655712318767680267	x3 − x2 − 1
5	1,5015948035390873664	x6 − x5 − x4 + x2 − 1
6	1,5341577449142669154	x5 − x3 − x2 − x − 1
7	1,5452156497327552432	x7 − x6 − x5 + x2 − 1
8	1,5617520677202972947	x6 − 2x5 + x4 − x2 + x − 1
9	1,5701473121960543629	x5 − x4 − x2 − 1
10	1,5736789683935169887	x8 − x7 − x6 + x2 − 1
11	1,5900053739013639252	x7 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
12	1,5911843056671025063	x9 − x8 − x7 + x2 − 1
13	1,6013473337876367242	x7 − x6 − x4 − x2 − 1
14	1,6017558616969832557	x10 − x9 − x8 + x2 − 1
15	1,6079827279282011499	x9 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
16	1,6081283851873869594	x11 − x10 − x9 + x2 − 1
17	1,6119303965641198198	x9 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
18	1,6119834212464921559	x12 − x11 − x10 + x2 − 1
19	1,6143068232571485146	x11 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
20	1,6143264149391271041	x13 − x12 − x11 + x2 − 1
21	1,6157492027552106107	x11 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
22	1,6157565175408433755	x14 − x13 − x12 + x2 − 1
23	1,6166296843945727036	x13 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
24	1,6166324353879050082	x15 − x14 − x13 + x2 − 1
25	1,6171692963550925635	x13 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
26	1,6171703361720168476	x16 − x15 − x14 + x2 − 1
27	1,6175009054313240144	x15 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
28	1,6175012998129095573	x17 − x16 − x15 + x2 − 1
29	1,6177050699575566445	x15 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
30	1,6177052198884550971	x18 − x17 − x16 + x2 − 1
31	1,6178309287889738637	x17 − x15 − x14 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
32	1,6178309858778122988	x19 − x18 − x17 + x2 − 1
33	1,6179085817671650120	x17 − x16 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
34	1,6179086035278053858	x20 − x19 − x18 + x2 − 1
35	1,6179565199535642392	x19 − x17 − x16 − x15 − x14 − x13 − x12 − x11 − x10 − x9 − x8 − x7 − x6 − x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
36	1,6179565282539765702	x21 − x20 − x19 + x2 − 1
37	1,6179861253852491516	x19 − x18 − x16 − x14 − x12 − x10 − x8 − x6 − x4 − x2 − 1
38	1,6179861285528618287	x22 − x21 − x20 + x2 − 1

El número $2+\sqrt 2$ es un número de Pisot que no es una unidad, ya que satisface la ecuación x²-4x+2=0.

Todo cuerpo de números algebraicos reales contiene un número de Pisot-Vijayaraghavan que genera dicho cuerpo. En los cuerpos cuadráticos y cúbicos no es difícil encontrar una unidad que sea un número de Pisot-Vijayaraghavan

Véase también

• Número de Salem

Referencias

• M.J. Bertin; A. Decomps-Guilloux, M. Grandet-Hugot, M. Pathiaux-Delefosse, J.P. Schreiber (1992). Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser. ISBN 3764326484. 
• Peter Borwein (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95444-9. 
• D.W. Boyd (1978). «Pisot and Salem numbers in intervals of the real line». Math. Comp. 32:  pp. 1244–1260. doi:10.2307/2006349. 
• J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press. pp. 133-144. 

Enlaces externos

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Número de Pisot-Vijayaraghavan» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Terr, David and Weisstein, Eric W.. «Pisot Number» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.