Notación de Landau

En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

Definición

La notación de Landau se define de la siguiente forma:

Si f, g son funciones complejas definidas en un entorno de un punto x₀, entonces

• $f=O(g) \,\!$ cuando $x\rightarrow x_0$ si y sólo si existe un ε > 0 tal que $|f(x)| \leq \epsilon |g(x)|$ para todo x en un entorno de $x_0 \,\!$.
• $f=o(g) \,\!$ cuando $x\rightarrow x_0$ si y sólo si para todo ε > 0 tenemos que $|f(x)| < \epsilon |g(x)|\,\!$ para todo x en un entorno de $x_0 \,\!$.

Una versión un poco mas restrictiva pero mas manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ dos funciones definidas para $x>x_0.\,\!$ y sea $g(x)\neq 0\ \ \forall x>x_0\,\!$. Los simbólos

$f=O(g)\,\!$ , $f=o(g)\,\!$

significan respectivamente que $f(x)/g(x) \to 0 \,\!$ cuando $x\to -\infty \,\!$, y que $f(x)/g(x)\,\!$ está acotado para $x\,\!$ suficientemente grande. La misma notación es usada cuando $x\,\!$ tiende a un límite finito o a $-\infty\,\!$, o también cuando $x\,\!$ tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es $o(1)\,\!$ o $O(1)\,\!$ si tal expresión tiende a cero o esta acotada respectivamente.

Dos funciones $f(x)\,\!$ y $g(x)\,\!$ definidas en una vecindad de un punto $x_0\,\!$ (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si $f(x)/g(x)\to 1\,\!$ cuando $x\to x_0\,\!$

Si las fracciones $f(x)/g(x)\,\!$, $g(x)/f(x)\,\!$ están acotadas en una vecindad de $x_0\,\!$ se dice que que $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ son del mismo orden cuando $x\to x_0\,\!$

Propiedades

Contexto de las propiedades

Sean $a,b\in\mathbb{R}\,\!$ y supóngase que $f\,\!$ es una función definida sobre un intervalo finito o infinito $a\leq x<b\,\!$ y es integrable sobre cualquier intervalo $(a,b')\,\!$ con $b'<b\,\!$ podemos escribir

$F(x)=\int_a^{x}f(t)\mathrm{d}t \ \ x\in(a,b')\,\!$

Sea $u_0,u_1,u_2,\ldots \,\!$ una sucesión de numeros y sea

$U_\nu=u_0+u_1+\cdots + u_\nu \ \ (\nu=0,1,\ldots)\,\!$

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

1. Suponga que $f(x)\,\!$, $g(x)\,\!$ estan definidas en $a\leq x<b\,\!$ e integrables sobre cualquier $(a,b')\,\!$, que $g(x)\geq0 \,\!$ y que $G(x)\to +\infty\,\!$ cuando $x\to b\,\!$. Si $f(x)=o(g(x))\,\!$ cuando $x\to b\,\!$, entonces también se tendrá que $F(x)=o(G(x))\,\!$
2. Sean $\{u_\nu\},\ \{v_\nu\},\ \,\!$ dos sucesiones de numeros, esta última positiva. Si $\{u_\nu\}=o \{v_\nu\},\ \,\!$ y $V_\nu\to+\infty \,\!$, entonces $U_\nu=o(V_\nu) \,\!$
3. Suponga que la serie $\sum v_\nu \,\!$ converge, que los $v\,\!$'s son positivos, y que $u_\nu=o(v_\nu) \,\!$. entonces $u_\nu+u_{\nu+1}+\cdots= o(v_\nu+v_{\nu+1}+\cdots)\,\!$
4. Sea $f(x) \,\!$ una función positiva, monótona y finita definida para $x\geq0 \,\!$ y sea $F(x)=\int_0^{x}f\mathrm{d}t,\ \ \ F_n=f(0)+f(1)+\cdots+f(n). \,\!$ Entonces
   (i) si $f(x)\,\!$ decrementa, F(n) − f_n tiende a un límite finito
   (ii) si $f(x)\,\!$ incrementa, $F(n)\leq F_n\leq F(n)-f(n)_n\to+\infty$
5. Sea $f(x)\,\!$ positiva, finita y monótona para $x\geq0\,\!$. Si se cumple (i) $f(x)\,\!$ incrementa y $F(x)\to\infty \,\!$ o (ii) $f(x)\,\!$ incrementa y $f(x)=o(F(x)) \,\!$, entonces F_n\,\!</math> es asintóticamente igual a $F(n) \,\!$

$\,\!$

Véase también

• Cota superior asintótica
• Cota inferior asintótica
• Cota ajustada asintótica

Bibliografía

• Trigonometric Series vol 1 A. Zygmund