Norma vectorial

Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial.

Por tanto, basándonos en las propiedades básicas que la determinación de la longitud tiene en el espacio euclídeo habitual, definimos matemáticamente qué condiciones mínimas debe satisfacer un operador que actúe sobre un vector para poder ser considerado un operador norma en cualquier geometría. De esta forma, aparecen varias posibilidades que han sido muy fructíferas en diversos campos entre los que cabe destacar la Astrofísica y la Cosmología.

En espacios vectoriales es sinónimo de longitud de un vector.

Definición de norma euclídea

En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del vector $\vec {AB}$.

• En dos dimensiones:

$\| \vec{AB} \| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$ siendo $\vec{OA} = (a_1, a_2)$ y $\vec{OB} = (b_1, b_2)$ y O el origen de coordenadas de dicho espacio.

• Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:

$\| \vec {AB} \| = \sqrt{{(b_1 - a_1)^2} + {(b_2 - a_2)^2} + {(b_3 - a_3)^2}}$ siendo $\vec {OA} = (a_1, a_2, a_3)$ y $\vec {OB} = (b_1, b_2, b_3)$

• En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene:

$\| \vec{AB} \| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + ... + (b_n - a_n)^2}$ siendo $\vec {OA} = (a_1, a_2, ..., a_n)$ y $\vec {OB} = (b_1, b_2, ..., b_n)$.

De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal $\mathcal{B}$ en la que un vector $\mathbf{v}$ viene dado por sus componentes en esta base, $\mathbf{v}_\mathcal{B} = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$, entonces la norma de dicho vector viene dada por:

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}$

Definición matemática general

La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:

• Siempre es no negativa e independiente del sentido (orientación) de la medición.
• La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o triple- de longitud).
• La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular: la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado, también generalizada en la desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Esto genera la siguiente definición matemática:

Sea $\mathbf{V}$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ y $\vec x$ un vector del espacio. Se dice que $\|.\|:V\rightarrow \mathbb{R}$ es un operador que define la norma de $\vec x$, y escribimos $\|\vec x\|$, si cumple:

1. Para todo $\vec x$ de $\mathbf{V}$ su norma ha de ser no negativa, y será cero si y sólo si $\vec x$ es el vector cero: $0 < \|\vec x\|$ si $\vec x \neq \vec 0$ y $\|\vec x\| = 0 \Longleftrightarrow \vec x = \vec 0$.
2. Para todo $\vec x$ de $\mathbf{V}$ y para todo k de $\mathbb{K}$ se satisface que $\|k \vec x \| = |k|$ · $\| \vec x \|$
3. Para todos $\vec x$ e $\vec y$ de $\mathbf{V}$ se cumple que $\| \vec {x} + \vec {y} \| \leq \| \vec {x} \| + \| \vec {y} \|$ (desigualdad triangular).

Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometría, será un operador norma.

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemática general:

• Para un vector $\vec x = (x_1,x_2,...,x_n)$ se define la norma-p como:

$\| \vec x \|_p = \sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+...+|x_n|^p}$

Así, para el caso p = 1 se obtiene $\| \vec x \|_1 = |x_1| + |x_2| + ... + |x_n|$, y para el caso p = 2 se obtiene la norma euclídea explicada más arriba.

• Otro operador norma sería, la norma del máximo:

$\| \vec x \|_\infty = \max(|x_1|,|x_2|,...,|x_n|) = \max_{i\in\{1,\dots,n\}} |x_i|$

Donde $\vec x = (x_1,x_2,...,x_n)$. Para un espacio de dimensión finita numerable se podría escribir:

$\| \vec x \|_\infty = \sup_{i\in\mathbb{N}} |x_i|$

La elección del subíndice $\infty$ para esta norma se debe al hecho de que:

$\lim_{p\to \infty} \, \, \| \vec x \|_p = \| \vec x \|_\infty$

• En un espacio vectorial dotado de producto escalar o Espacio prehilbertiano existe una norma asociada al producto escalar definida como (La coma indica producto interno):

$\|x\| = \sqrt{\langle x , x\rangle}$

Si dicho espacio es un espacio de Hilbert entonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es un espacio de Banach.

Véase también

• Tensor métrico
• Espacios vectoriales normados
• Espacios métricos