Anillo conmutativo

Anillo conmutativo

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En teoría de anillos (una rama del álgebra abstracta), un anillo conmutativo es un anillo (R, +, ·) en el que la operación de multiplicación · es conmutativa; es decir, si para cualesquiera a, b ∈ R, a·b = b·a.

Si adicionalmente el anillo tiene un elemento unitario 1 tal que 1a = a = a1 para todo a, entonces el anillo se denomina anillo conmutativo unitario.

La rama de la teoría de anillos que estudia los anillos conmutativos se denomina álgebra conmutativa.

Ejemplos

• El ejemplo más importante es tal vez el de los números enteros con las operaciones usuales de suma y multiplicación, ambas conmutativas. Este anillo usualmente se denota por Z, por la palabra alemana Zahlen (números).
• Los números racionales, reales, y complejos forman anillos conmutativos con las operaciones usuales; más aún, son campos.
• Más generalmente, todo campo es un anillo conmutativo por definición.
• El mejor ejemplo de un anillo no conmutativo es el conjunto de matrices cuadradas de 2×2 con valores reales. Por ejemplo, la multiplicación matricial

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}$

da un resultado distinto que si se invierte el orden de los factores:

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1\\ \end{bmatrix}.$

• Si n > 0 es un entero, el conjunto Z_n de enteros módulo n forma un anillo conmutativo con n elementos.
• Si R es un anillo conmutativo, el conjunto de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un nuevo anillo conmutativo, denotado por R[X].
• El conjunto de números racionales de denominador impar forma un anillo conmutativo, estrictamente contenido en el anillo Q de los racionales, y que contiene propiamente al Z de los enteros.

Propiedades

• Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
• Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.

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