Ángulo inscrito

Ángulo inscrito

En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo convexo que tenga su vértice en la circunferencia y que las semirrectas que constituyen sus lados sean secantes a la misma.

Contenido

Propiedades

Mientras que un ángulo central tiene una amplitud θ igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior, θ / 2 .

Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, y que cuando dos cuerdas a, b se intersecan en el interior del círculo, el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo a_1 \cdot a_2 = b_1 \cdot b_2.

Demostración

Para entender la prueba, es útil dibujar un diagrama como los de las figuras.

Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro

Ángulo inscrito α y arco θ

Sean o el centro de un círculo, u y v dos puntos en la circunferencia, y w el otro extremo de la cuerda que pasa por u y o. Sea θ la amplitud del arco comprendido entre las secantes \bar{uv} y \bar{uw}, y α su ángulo inscrito.

El ángulo central \angle wov, también tiene amplitud θ y es suplementario de \angle vou = \beta. Por lo tanto θ + β = 180°.

Como el triángulo \triangle uvo tiene dos lados con longitud igual al radio (\bar{uo} y \bar{vo}), es isósceles, por lo que \angle uvo = \alpha. Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que 2α + β = 180, pero β = 180 − θ, así que 2α + 180 − θ = 180, o lo que es equivalente, 2α = θ.

Por lo tanto, el ángulo inscrito α tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior θ, \alpha = \frac{\theta}{2}.

Véase también

Enlaces externos


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