Movimiento relativo

El movimiento siempre es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos.

Ejemplo.

Una partícula se encuentra en movimiento en un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partícula está en reposo en dicho referencial. De estas definiciones, vemos que tanto el concepto de movimiento como el de reposo son relativos. Así, el pasajero que está sentado en un vagón de ferrocarril se encuentra en reposo con respecto al vagón; pero como el tren se mueve con respecto a la Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los árboles que observa desde el tren. A su vez, esos árboles están en reposo respecto de la Tierra, pero en movimiento respecto del pasajero del tren.

A efectos prácticos, podemos distinguir dos modalidades de movimiento relativo:

• Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial.
• Movimiento relativo de una partícula en dos referenciales diferentes en movimiento relativo entre sí.

Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial

Movimiento relativo entre dos partículas en movimiento respecto a un mismo referencial xyz

Consideremos dos partículas, A y B, que se mueven en el espacio y sean $\mathbf r_\text{A}$ y $\mathbf r_\text{B}$ sus vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial serán

(1) $\mathbf v_\text{A} = \frac{d\mathbf r_\text{A}}{dt} \qquad \mathbf v_\text{B} = \frac{d\mathbf r_\text{B}}{dt}$

Los vectores de posición (relativa) de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por

(2) $\mathbf r_\text{BA} = \overrightarrow\text{AB} = \mathbf r_\text{B} - \mathbf r_\text{A} \qquad \mathbf r_\text{Ab} = \overrightarrow\text{BA}= \mathbf r_\text{A} - \mathbf r_\text{B}$

y las velocidades (relativas) de B con respecto a A y de A con respecto a B son

(3) $\mathbf v_\text{BA} = \frac{d\mathbf r_\text{BA}}{dt} \qquad \mathbf v_\text{AB} = \frac{d\mathbf r_\text{AB}}{dt}$

Puesto que $\mathbf r_\text{BA} = - \mathbf r_\text{AB}$, también resulta que $\mathbf v_\text{BA} = - \mathbf v_\text{AB}$, de modo que las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas.

Efectuando las derivadas (3), resulta

(4) $\frac{d\mathbf r_\text{BA}}{dt} = \frac{d\mathbf r_\text{B}}{dt} - \frac{d\mathbf r_\text{A}}{dt} \qquad \frac{d\mathbf r_\text{AB}}{dt} = \frac{d\mathbf r_\text{A}}{dt} - \frac{d\mathbf r_\text{B}}{dt}$

o sea que

(5) $\mathbf v_\text{BA} = \mathbf v_\text{B} - \mathbf v_\text{A} \qquad \mathbf v_\text{AB} = \mathbf v_\text{A} - \mathbf v_\text{B}$

de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restando vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial (Oxyz en la figura).

Derivando de nuevo las expresiones (5) tenemos para las aceleraciones relativas

(6) $\frac{d\mathbf v_\text{BA}}{dt} = \frac{d\mathbf v_\text{B}}{dt} - \frac{d\mathbf v_\text{A}}{dt} \qquad \frac{d\mathbf v_\text{AB}}{dt} = \frac{d\mathbf v_\text{A}}{dt} - \frac{d\mathbf v_\text{B}}{dt}$

Los primeros miembros de (6) son las aceleraciones relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B. Los otros términos son las aceleraciones de A y de B con respecto a un mismo observador Oxyz.

Tenemos

(7) $\mathbf a_\text{BA} = \mathbf a_\text{B} - \mathbf a_\text{A} \qquad \mathbf a_\text{AB} = \mathbf a_\text{A} - \mathbf a_\text{B}$

siguiéndose para las aceleraciones relativas la misma regla que para las velocidades.

Movimiento relativo de una partícula en dos referenciales

Sistema de referencia fijo o absoluto (XYZ) y sistema de referencia móvil o relativo (xyz) en movimiento general (rototraslatorio) respecto al referencial absoluto.

En este caso, el movimiento relativo hace referencia al que presenta una partícula con respecto a un sistema de referencia (xyz), llamado referencial relativo o móvil por estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia (XYZ) considerado como referencial absoluto o fijo.

El movimiento de un referencial respecto al otro puede ser una traslación, una rotación o una combinación de ambas (movimiento rototraslatorio).

Velocidad

La velocidad $\mathbf v_\text{F}\,$ de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su velocidad $\mathbf v_\text{M}\,$ en un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante la expresión:

(1) $\mathbf v_\text{F} = \mathbf v_\text{M} \ + \mathbf v_\text{o} \ + \boldsymbol\omega \times \mathbf r$

siendo:

$\mathbf v_\text{F}\,$ la velocidad de la partícula en el referencial fijo (velocidad absoluta).

$\mathbf v_\text{M}\,$ la velocidad de la partícula en el referencial móvil (velocidad relativa),

$\mathbf v_\text{o} \,$ la velocidad del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación),

$\boldsymbol\omega \,$ la velocidad angular del referencial móvil respecto del referencial fijo (velocidad angular de arrastre),

$\boldsymbol\omega \times \mathbf r \;$ la velocidad de arrastre de rotación.

Los dos últimos términos representan la velocidad de arrastre total, de modo que podemos escribir

$\mathbf v_\text{arr} = \mathbf v_\text{o} \ + \boldsymbol\omega \times \mathbf r$

que coincide con la velocidad correspondiente un punto de un sólido rígido en movimiento.

Podemos expresar la velocidad de la partícula en el referencial fijo en la forma

$\mathbf v_\text{F} = \mathbf v_\text{M} \ + \mathbf v_\text{arr}$

Aceleración

La aceleración $\mathbf a_\text{F}\,$ de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su aceleración $\mathbf a_\text{M}\,$ en un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante la expresión:

(1) $\mathbf a_\text{F} = \mathbf a_\text{M}\ + \mathbf a_\text{o}\ + \dot{\boldsymbol\omega} \times \mathbf r \ + \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r)\ + 2\boldsymbol\omega \times \mathbf v_\text{M}$

siendo:

$\mathbf a_\text{F}\,$ la aceleración de la partícula en el referencial fijo (aceleración absoluta).

$\mathbf a_\text{M}\,$ la aceleración de la partícula en el referencial móvil (aceleración relativa),

$\mathbf v_\text{M}\,$ la velocidad de la partícula en el referencial móvil (velocidad relativa),

$\mathbf a_\text{o} \,$ la aceleración del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación),

$\dot{\boldsymbol\omega} \times \mathbf r \;$ la aceleración tangencial (arrastre de rotación),

$\boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r) \,$ la aceleración normal o centrípeta (arrastre de rotación),

$2\boldsymbol\omega \times \mathbf v_\text{M}\,$ la aceleración complementaria o aceleración de Coriolis.

Si la partícula se encuentra en reposo en el referencial móvil, esto es, si $\mathbf v_\text{M}=0\,$ y $\mathbf a_\text{M}=0\,$, su aceleración en el referencial fijo es la aceleración de arrastre, que viene dada por

$\mathbf a_\text{arr} = \mathbf a_\text{o} \ + \dot{\boldsymbol\omega} \times \mathbf r \ + \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r)$

que coincide con la aceleración correspondiente un punto de un sólido rígido en movimiento.

Podemos expresar la aceleración de la partícula en el referencial fijo en la forma

$\mathbf a_\text{F} = \mathbf a_\text{M} \ + \mathbf a_\text{arr} \ + \mathbf a_\text{C}$

Traslación solamente

La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto $\mathbf a_\text{F}\,$ y en un referencial móvil o relativo, $\mathbf a_\text{M}\,$, están relacionadas mediante la expresión:

$\mathbf a_\text{F} = \mathbf a_\text{M} \ + \mathbf a_\text{o}$

Solo rotación

La aceleración de una partícula en un referencial fijo o absoluto $\mathbf a_\text{F}\,$ y en un referencial móvil o relativo, $\mathbf a_\text{M}\,$, están relacionadas mediante la expresión:

$\mathbf a_\text{F} = \mathbf a_\text{M} \ + \dot{\boldsymbol\omega} \times \mathbf r \ + \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \mathbf r) \ + 2\boldsymbol\omega \times \mathbf v_\text{M}$

Véase también

• Velocidad relativa
• Aceleración relativa

Referencias

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004) (en español). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 
• Tipler, Paul A. (2000) (en español). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos