Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Descripción

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

$y'(t) = f(t, y(t)) \,$

una ecuación diferencial ordinaria, con $f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ donde $\Omega \,$ es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

$(t_0, y_0) \in \Omega.$

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

$y_{n+1} = y_n + h\,\sum_{i=1}^s b_ik_i$,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento Δt_n entre los sucesivos puntos t_n y t_{n + 1}. Los coeficientes k_i son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

$k_i = f \left( t_n + h\, c_i\, , y_n + h\,\sum_{j=1}^s a_{ij}k_j \right ) \quad i=1,...,s.$

con a_ij,b_i,c_i coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes a_ij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, a_ij = 0 para j = i,...,s, los esquemas son explícitos.

Ejemplo

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = t_n y otra en t = t_n + Δt_n. ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

$f_n=k_1 = f(t_n, y_n) \,$

Para estimar ƒ(t,y) en t = t_n + Δt_n se usa un esquema Euler

$f_{n+1}=k_2=f( t_n + \Delta t_n\, , y_n+\Delta t_n k_1 ). \,$

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

$y_{n+1} = y_n + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,y(t))\,dt,$

de manera que se obtiene la expresión:

$y_{n+1}=y_{n} + {{\Delta t_n}\over 2} (k_1 + k_2).$

Los coeficientes propios de este esquema son: b₁ = b₂ = 1 / 2;a₂₁ = 1;c₂ = 1.

Variantes

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

Métodos de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.

Definamos un problema de valor inicial como:

$y' = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0$

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

$y_{i+1} = y_i + {1 \over 6}\left ( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right ) h$

Donde

$\begin{cases} k_1 & = f \left( x_i, y_i \right) \\ k_2 & = f \left( x_i + {1 \over 2}h, y_i + {1 \over 2}k_1 h \right) \\ k_3 & = f \left( x_i + {1 \over 2}h, y_i + {1 \over 2}k_2 h \right) \\ k_4 & = f \left( x_i + h, y_i + k_3h \right) \\ \end{cases}$

Así, el siguiente valor (y_n+1) es determinado por el presente valor(y_n) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde k₁ es la pendiente al principio del intervalo, k₂ es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k₁ para determinar el valor de y en el punto $\scriptstyle x_n + \frac{h}{2}$ usando el método de Euler. k₃ es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y k₄ es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k₃. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

$\mbox{pendiente} = \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}.$

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h⁵), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h⁴).

Véase también

• Método de Euler
• Método de Dormand-Prince

Referencias

• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth (1998) (en inglés). Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations (1ª edición). Philadelphia (USA): SIAM. ISBN 0898714125. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Runge-Kutta Method» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• TEMA 1 Problemas de Valor Inicial para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Métodos Numéricos de un paso.
• Explicación gráfica del Método Runge Kutta