Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).^[1]

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Si $\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$ es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n)$ es el vector columna de las incógnitas y $\mathbf{b}$ es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

$x_j = \cfrac { \det(A_j) }{ \det(\mathbf{A}) }$

donde A_j es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.

Fórmulas explícitas para sistemas pequeños

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} = {\color{red}e}\\ c{\color{blue}x} + d{\color{blue}y} = {\color{red}f} \end{cases}$

Lo representamos en forma de matrices:

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{blue}x} \\ {\color{blue}y} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}$

Entonces, x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

$x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = \frac{ {\color{red} e } d - b {\color{red} f } }{ ad - bc }$

y

$y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = \frac{ a{\color{red} f } - {\color{red} e } c }{ ad - bc }$

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de determinantes:

$\begin{cases} a{\color{blue}x} + b{\color{blue}y} + c{\color{blue}z} = {\color{red}j}\\ d{\color{blue}x} + e{\color{blue}y} + f{\color{blue}z} = {\color{red}k}\\ g{\color{blue}x} + h{\color{blue}y} + i{\color{blue}z} = {\color{red}l} \end{cases}$

Que representadas en forma de matriz es:

$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{blue}x} \\ {\color{blue}y} \\ {\color{blue}z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}$

x, y, z pueden ser encontradas como sigue:

$x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} } , \quad y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} } , \quad z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$

Demostración

Sean:

$\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} ; \quad A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} \end{bmatrix} ; \quad \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

$A_j = \left [ \begin{array}{llllllll} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & \cdots & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2,n} \\ \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ \\ a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,j-1}& b_{n-1} & a_{n-1,j+1} & \cdots & a_{n-1,n} \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array} \right ]$

Usando las propiedades de la multiplicación matricial (Producto de Matrices):

$A \vec x = \vec b \Leftrightarrow A^{-1} A \vec x = A^{-1} \vec b \Leftrightarrow I \vec x = A^{-1} \vec b \Leftrightarrow \vec x = A^{-1} \vec b$

entonces:

$\vec x = A^{-1} \vec b = \frac{ (\operatorname{Adj} A)^t }{ \left| A \right| } \; \vec b$

Sean:

$A^{-1} \vec b = p_{jk}$

$(\operatorname{Adj}A)^t = \frac{A^\prime_{pl}}{A^\prime_{pl}} = A_{lp}$

Por lo tanto:

$A^{-1} \vec b = p_{jk} = \sum_{i=1}^n \frac{ A^\prime_{ji} }{ \left | A \right | } b_{ik} = \frac{ \sum_{i=1}^n A_{ij} b_i }{ \left | A \right | } =_{\rm (1)} \cfrac { \left | A_j \right | }{ \left | A \right | }$

Aparte, recordando la definición de determinante, la sumatoria definida acumula la multiplicación del elemento adjunto o cofactor de la posición ij, con el elemento i-ésimo del vector B (que es precisamente el elemento i-èsimo de la columna j, en la matriz A_j

Referencias

1. ↑ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd edition (Wiley, 1968), p. 431.

Véase también

• Determinante
• Matriz