- Metalógica
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La metalógica es el estudio de las propiedades y los componentes de los sistemas lógicos.[1]
Contenido
Propiedades metalógicas
Consistencia
Un sistema lógico tiene la propiedad de ser consistente cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema. Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo (axiomas y reglas de inferencia), no es posible deducir una fórmula y su negación.
Decidibilidad
Se dice de un sistema lógico que es decidible cuando, para cualquier fórmula dada en el lenguaje de un sistema con axiomas y reglas de inferencia, existe un método efectivo para determinar si esa fórmula pertenece o no al conjunto de los teoremas del sistema. Cuando una fórmula no puede ser probada como teorema, y tampoco su negación, se dice que la fórmula es independiente, y que por lo tanto el sistema es no decidible. La única manera de incorporar una fórmula independiente a los teoremas del sistema es postulándola como axioma. Dos ejemplos muy importantes de fórmulas independientes son el axioma de elección en la teoría de conjuntos, y el quinto postulado de la geometría euclidiana.
Completitud
Se habla de completitud en varios sentidos, pero quizás los dos más importantes sean los de completitud semántica y completitud sintáctica. Un sistema S en un lenguaje L es semánticamente completo cuando todas las verdades lógicas de L son teoremas de S.[2] En cambio, un sistema S es sintácticamente completo si, para toda fórmula A del lenguaje del sistema, A es un teorema de S o ¬A es un teorema de S. Esto es, existe una prueba para cada fórmula o para su negación. La lógica proposicional y la lógica de primer orden son ambas semánticamente completas, pero no sintácticamente completas. Por ejemplo, nótese que en la lógica proposicional, la fórmula p no es un teorema, y tampoco lo es su negación, de modo que eso basta para mostrar que no es sintácticamente completa. No obstante, como ninguna de esas dos fórmulas es una verdad lógica, no afectan a la completitud semántica del sistema. El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo puede ser a la vez consistente y semánticamente completo.
Resultados metalógicos importantes
Algunos de los resultados más importantes obtenidos en metalógica son:
- Teorema de Löwenheim-Skolem (Leopold Löwenheim 1915 y Thoralf Skolem 1919)
- Demostración de la consistencia de la lógica proposicional veritativo-funcional (Emil Post 1920)
- Demostración de la completitud semántica de la lógica proposicional veritativo-funcional (Paul Bernays 1918, Emil Post 1920)
- Demostración de la decidibilidad de la lógica proposicional veritativo funcional (Emil Post 1920)
- Demostración de la consistencia de la lógica de primer orden monádica (Leopold Löwenheim 1915)
- Demostración de la completitud semántica de la lógica de primer orden monádica (Leopold Löwenheim 1915)
- Demostración de la decidibilidad de la lógica de primer orden monádica (Leopold Löwenheim 1915)
- Demostración de la consistencia de la lógica de primer orden (David Hilbert y Wilhelm Ackermann 1928)
- Demostración de la completitud semántica de la lógica de primer orden (Teorema de completitud de Gödel 1930)
- Demostración de la indecibilidad de la lógica de primer orden (Entscheidungsproblem, Alonzo Church 1936 y Alan Turing 1936)
- Teoremas de incompletitud de Gödel 1931
Véase también
Notas y referencias
- ↑ Shapiro, Stewart, «metalógica», The Oxford Companion to Philosophy, Oxford University Press, http://www.oxfordreference.com/views/ENTRY.html?subview=Main&entry=t116.e1583, consultado el 6 de octubre de 2009
- ↑ Hunter, Geoffrey (1971). «Sección 46.1». Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic. University of California Press.
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