Media-f generalizada

Una f-media generalizada o media cuasi-aritmética es una generalización del concepto de media que generaliza tanto a la media aritmética, como la media geométrica, la media cuadrática o la media armónica, por medio de una función f.

También recibe el nombrde de media de Kolmogorov en honor al científico ruso Andrey Kolmogorov.

Definición

Sea una función $f:I\to \R$ que es continua e inyectiva entonces se define la f-media de dos números como:

$x_1, x_2 \in I,$ como $M_f(x_1,x_2) = f^{-1}\left( \frac{f(x_1)+f(x_2)}2 \right)$

Para n números:

$x_1, \dots, x_n \in I$, su f-media es $M_f x = f^{-1}\left( \frac{f(x_1)+ \cdots + f(x_n)}n \right)$

La f-media está bien definida gracias a que se ha requerido que f sea inyectiva para asegurar que existe la función inversa f ^{− 1}. Además puesto que f está definida en un intervalo, $\frac{f\left(x_1\right) + f\left(x_2\right)}2$ estará en el dominio de f ^{− 1}.

Puesto que f es inyectiva y continua, se deduce que f es estrictamente monótona, y por tanto que la f-media está entre el máximo y el mínimo del conjunto de datos:

$\min \{x_1, x_2, \dots x_n\} \le f^{-1}\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) \le \max \{x_1, x_2, \dots x_n\}$

Referencia

Bibliografía

• Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989) Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
• Andrey Kolmogorov (1930) “Mathematics and mechanics”, Moscow — pp. 136-138. (In Russian)
• Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388-391.
• John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.