Ecuación diofántica

Ecuación diofántica

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Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ o los números naturales $\mathbb{N}$, es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.

Ejemplo ilustrativo I

Un ejemplo de ecuación diofántica es: $x + y = 5 \,$

Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo, las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución.

Por ejemplo, en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x,y):

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1).

Un problema matemático muy famoso que se resuelve por medio de ecuaciones diofánticas es el del mono y los cocos.

Ecuación diofántica lineal

La ecuación diofántica $Ax + By = C \,$ o identidad de Bézout tiene solución si y solo si d = mcd(A, B) (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Similarmente la ecuación $a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = C \,$ tiene solución si y solo si d = mcd(a₁, a₂,...,a_n) es un divisor de C.

Solución general

Supongamos la ecuación diofántica $Ax + By = C \,$. Solo tiene solución si $mcd(A,B)=d|C \,$. Para buscar el $mcd(d) \,$ empleamos el algoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma:

$\begin{cases} x=x_{1}+\lambda\cdot\frac{B}{d} \\ y =y_{1}-\lambda\cdot\frac{A}{d}\end{cases}$

Donde $d=mcd(A,B) \,$ y $x_1 \,$ e $y_1 \,$ son una solución particular de la ecuación.

Solución particular

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da $x_1 \,$ e $y_1 \,$. Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104

1. Buscamos el d = mcd(6,10). A través de Euclides encontramos que d =2
2. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x₁ = 2 e y₁ = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.
3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x₁ = 2 e y₁ = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104
4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

$\begin{cases} x=(2 \cdot 52) + \lambda \cdot \frac{10}{2} \\ y = (-1 \cdot 52) - \lambda \frac{6}{2}\end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{Z}$

Ecuación pitagórica

Se llama ecuación pitagórica a la ecuación $x^2 + y^2 = z^2 \,$ con $x,y,z \in \mathbb{Z}$. Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (x, y, z) es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán:

1. La terna alternando x e y: (y, x, z).
2. Una terna múltiplo (ky, kx, kz).
3. Una terna con algún signo cambiado (-x, y, z), (x, -y, z) o (y, x, -z)
4. Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los procedimientos anteriores.

Se dice que una terna es primitiva, si el máximo común divisor de x, y, z es la unidad, es decir, mcd(x,y,z) = 1. En toda terna primitiva al menos uno de los números x o y es par y z es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son de la ecuación pitagórica son de la forma:

$\begin{cases} x = u^2 - v^2 \qquad y = 2uv \qquad z = u^2 + v^2 \\ u,v \in \mathbb{N} \; \land \; u \neq v\ (\mbox{mod}\ 2) \; \land \; \mbox{mcd}(u,v) = 1 \end{cases}$

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