Matriz normal

Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

A^{*}A=AA^{*}\,

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Ejemplos

Esta matriz de orden 2 es normal.

\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}

debido a que ..

\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}^* = \begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
i & i \\
i & -i \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 &  2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
i & i \\
i & -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}^*\begin{pmatrix}
-i & -i \\
-i &  i \end{pmatrix}

Propiedades

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

Demostración:

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:

A = QUQ *


Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:

  • ak1 = 0 \forall k=2, .. , n (1)
  • ak2 = 0  \forall k=3, .. , n (2)
  • ...
  • akn − 1 = 0  con \, \, k=n (n-1)


Usando el hecho que A es normal:

A * A = (QUQ * ) * (QUQ * ) = QU * (Q * Q)(a)UQ * = QU * UQ *

Idénticamente.

(QUQ * )(QUQ * ) * = QUU * Q *

Postmultiplicando por Q y luego premultiplicando por Q * obtenemos: U * U = UU *

Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:


\begin{matrix} &  & 

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &   & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix} 


\\ 

U^*U = \begin{bmatrix} \overline{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\  \overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots &   & \ddots & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{n-1n}} & \overline{a_{nn}} \end{bmatrix} 


&  &  \end{matrix}



\begin{matrix} &  & 

\begin{bmatrix} \overline{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\  \overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots &   & \ddots & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{n-1n}} & \overline{a_{nn}} \end{bmatrix} 

\\ 

UU^* = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &   & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{bmatrix} 

&  &  \end{matrix}


Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.

(U^*U)_{ii} = \sum_{j=1}^n { a_{ij}*\overline{a_{ji}} } =  \sum_{j=1}^n {||a_{ij}||^2}


(UU^*)_{ii} = \sum_{j=1}^n { \overline{a_{ij}}*a_{ji} } = \sum_{j=1}^n {||a_{ji}||^2}

Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)

  • Caso i=1: (U * U)11 = (UU * )11


 \sum_{j=1}^n {||a_{1j}||^2}=\sum_{j=1}^n {||a_{j1}||^2}


Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.

||a_{11}||^2 + \sum_{j=2}^n {||a_{1j}||^2}=||a_{11}||^2 + \sum_{j=2}^n {||a_{j1}||^2}


Usando (1)

 \sum_{j=2}^n {||a_{1j}||^2} = 0

Por lo tanto, a1j = 0 \forall j=2, .. , n


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Matriz semejante — En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n por n sobre el cuerpo K son semejantes si existe una matriz invertible P de n por n sobre K tal que: P −1AP = B. Uno de los significados del término transformación de semejanza es una… …   Wikipedia Español

  • Matriz diagonal — En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si: Ejemplo: Toda matriz diagonal es también… …   Wikipedia Español

  • Matriz hermitiana — Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i ésima fila y j ésima columna es igual al conjugado del… …   Wikipedia Español

  • Normal — Se califica de normal todo aquello que se encuentra en su medio natural. Lo que se toma como norma o regla, aquello que es regular y ordinario. Normal también es un término estadístico, que hace referencia al promedio aceptado. Lo que tienen en… …   Wikipedia Español

  • Matriz de pagos — En teoría de juegos, la matriz de pagos (a veces también llamada matriz de recompensas) es una matriz que resume la información dada por las funciones de pago en un juego rectangular o en un juego extensivo en su forma normal. Contenido 1 Matriz… …   Wikipedia Español

  • Matriz diagonal — En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si: Ejemplo: Toda matriz diagonal es también… …   Enciclopedia Universal

  • Distribución normal multivariante — Saltar a navegación, búsqueda Normal multivariante Función de distribución de probabilidad Parámetros (vector real) Σ matriz de covarianza (matriz real definida positiva de dimensión …   Wikipedia Español

  • Distribución normal — Saltar a navegación, búsqueda Distribución normal Función de densidad de probabilidad La línea verde corresponde a la distribución normal estandar Función de distribución de probabilidad …   Wikipedia Español

  • Forma normal de un juego — Saltar a navegación, búsqueda En teoría de juegos, la forma normal es una forma de describir un juego. A diferencia de la forma extensa, las representaciones en forma normal no son grafos, sino matrices. Esto puede ser de gran utilidad a la hora… …   Wikipedia Español

  • Modo normal — Varios modos normales de una red unidimensional. Un modo normal de un sistema oscilatorio es la frecuencia a la cual la estructura deformable oscilará al ser perturbada. Los modos normales son también llamados frecuencias naturales o frecuencias… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”