Máquina de Atwood

Ilustración de la máquina de Atwood, 1905.

La máquina de Atwood fue inventada en 1784 por George Atwood como un experimento de laboratorio para verificar las leyes mecánicas del movimiento uniformemente acelerado. La máquina de Atwood es una demostración común en las aulas usada para ilustrar los principios de la Física, específicamente en Mecánica.

La máquina de Atwood consiste en dos masas, $m_1 \;$ y $m_2 \;$, conectadas por una cuerda inelástica de masa despreciable con una polea ideal de masa despreciable.

Cuando $m_1 \; = \ m_2$, la máquina está en equilibrio neutral a pesar de la posición de los pesos.

Cuando $m_2 \; > \ m_1$ ambas masas experimentan una aceleración uniforme.

Ecuación para la aceleración uniforme

Podemos obtener una ecuación para la aceleración usando análisis de fuerzas. Puesto que estamos usando una cuerda inelástica con masa despreciable y una polea ideal con masa despreciable, las únicas fuerzas que tenemos que considerar son: la fuerza tensión (T) y el peso de las dos masas (mg). Para encontrar el $\sum F$ tenemos que considerar la fuerzas que afectan a cada masa por separado

fuerzas que afectan $m_1 \;$ : $T-m_1g\;$

fuerzas que afectan $m_2 \;$ : $m_2g-T\;$

$\sum F=(m_2g-T)+(T-m_1g)=g(m_2-m_1)$

Usando la segunda Ley de Newton del movimiento podemos obtener una ecuación para la aceleración del sistema.

$\sum F=ma$

$a={\sum F \over m}$

$\sum F=g(m_2-m_1)$

$m=(m_1+m_2)\;$

$a = g{m_2-m_1 \over m_1+m_2}$

[Nota: Inversamente, la aceleración debida a la gravedad (g) puede obtenerse cronometrando el movimiento de los pesos y calculando un valor para la aceleración uniforme (a).]

Ecuación para la tensión

Puede ser útil obtener una ecuación para la tensión en la cuerda. Para evaluar la tensión sustituimos la ecuación por la aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones de fuerza.

$a = g{m_2-m_1 \over m_1+m_2}$

Por ejemplo sustituyendo en $m_1a = T-m_1g\;$, obtenemos

$T=g{2m_1m_2\over m_1+m_2}$

La tensión puede obtenerse de una forma similar de $m_2a = m_2g-T\;$

Ecuación para una polea no ideal

Para diferencias muy pequeñas de masa y entre m₁ y m₂, el momento de inercia (I) sobre la polea de radio r no puede ser despreciada. La aceleración angular de la polea viene dada por:

$\alpha = {a\over r}$

En este caso, el torque total del sistema se convierte en:

$\tau_{Total}=\left(T_2 - T_1 \right)r = I \alpha - \tau_{friccion}$

Implementaciones prácticas

Las ilustraciones originales de Atwood muestran el eje de la polea principal descansando sobre el borde de otras cuatro ruedas, para minimizar las fuerzas de fricción de los cojinetes. Muchas implementaciones históricas de la máquina siguen este diseño.

Un ascensor con un contrapeso se aproxima a una máquina de Atwood ideal y de ese modo alivia al motor conductor de la carga de aguantar la cabina del ascensor — tiene que vencer sólo la diferencia entre el peso y la inercia de las dos masas. El mismo principio se usa para ferrocarriles con dos vagones conectados en vías inclinadas.

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