Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Evolución respecto del tiempo de la posición, de la velocidad y de la aceleración de un cuerpo sometido a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, según la mecánica clásica.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.

Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana

En mecánica clásica el movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:

1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).

El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son:

(1) $a(t) = a = \frac{F}{m} = \frac{d^2x}{dt^2}$

En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).

La velocidad v para un instante t dado es:

(2a) $v(t)=at+ v_0 \,$

siendo $v_0\,$ la velocidad inicial.

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

(3) $x(t) = \frac {1}{2} a t^2 + v_0t + x_0$

donde $x_0\,$ es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):

(2b) $v^2= 2 a (x - x_0) + v_0^2 \,$

Derivación de las ecuaciones de movimiento

Deducción de la velocidad en función del tiempo

Se parte de la definición de aceleración

$a=\cfrac {dv}{dt}$

y se integra esta ecuación diferencial lineal de primer orden

$\int_{v_0}^v dv = \int_{t_0}^t a dt$

se resuelve la integral

$v =a(t-t_0)+ v_0 \$

donde $v_0\,$ es la velocidad del móvil en el instante inicial $t_0\,$.

En el caso de que el instante inicial sea $t_0=0\,$, será

$v =at + v_0 \$

Dedución de la posición en función del tiempo

A partir de la definición de velocidad

$v=\cfrac {dx}{dt}$

integrando

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t v dt$

en la que se sustituye el valor obtenido anteriormente para $v=v(t)\,$

$\int_{x_0}^x dx = \int_{t_0}^t [a(t-t_0)+ v_0] dt$

resolviendo la integral, y teniendo en cuenta que $a\,$ y $v_0\,$ son constantes:

$x =\frac{1}{2}a(t-t_0)^2+ v_0(t-t_0)+x_0$

donde $x_0\,$ la posición del móvil en el instante $t_0\,$.

En el caso de que en el tiempo incial sea $t_0=0\,$ la ecuación será:

$x =\frac{1}{2}at^2+ v_0t + x_0$

Ecuación no temporal del movimiento

Se trata de relacionar la posición, la velocidad y la aceleración, sin que aparezca el tiempo.

Se parte de la definición de aceleración, multiplicando y dividiendo por $dx\,$ se puede eliminar el tiempo

$a = \frac {dv}{dt} = \frac {dv}{dt} \frac {dx}{dx} = \frac {dx}{dt} \frac {dv}{dx} = v\frac {dv}{dx}$

se separan las variables y se prepara la integración teniendo en cuenta que $a = \text{cte.} \,$

$\int_{v_0}^v vdv = \int_{x_0}^x a dx = a \int_{x_0}^x dx$

y se integra

$\left . \frac{1}{2 } \; v^2 \right ]^{v}_{v_0} = \left . a \; x \right ]^{x}_{x_0}$

resultando

$\frac{1}{2 }(v^2 - v_0 ^2) = a(x-x_0)$

y ordenando

$v^2 = v_0 ^2 + 2a(x-x_0)$

 

Movimiento acelerado en Mecánica Relativista

Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleración (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).

En Mecánica Relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4) $\begin{cases} \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\ v(0) = 0 \end{cases}$

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

$a(t) = \frac{w}{\left(1+\frac{w^2t^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}$

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5) $\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = wt \qquad \Rightarrow \qquad v(t) = \frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}$

E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:

(6) $x(t) = \frac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}} -1 \right]$

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7) $\tau = \frac{c}{w}\ln \left[\frac{wt}{c} + \sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}\right]$

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.

Observadores de Rindler

El tratamiento de los observadores uniformemente acelerados en el espacio-tiempo de Minkowski se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas la métrica de dicho espacio-tiempo:

$ds^2 = -c^2dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2, \qquad (T, X, Y, Z)\in\R^4$

Considérese ahora la región conocida como "cuña de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican:

$\mathcal{R}_{Rind} = \{(T,X,Y,Z)\in\R^4|\ 0 < X < \infty, \; -X < T < X\}$

Y defínase sobre ella un cambio de coordenadas dado por las transformaciones siguientes:

$\begin{cases} t = \cfrac{c}{\alpha}\operatorname{arctanh}\left(\cfrac{cT}{X}\right), \; x=\cfrac{c^2}{\alpha} \ln \left(\cfrac{\alpha}{c^2}\sqrt{X^2-c^2T^2} \right)\; y = Y, \; z = Z\\ T = \cfrac{c}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \sinh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \; X = \cfrac{c^2}{\alpha}\ e^{\alpha x/c^2} \cosh \left(\cfrac{\alpha t}{c}\right), \; Y = y, \; Z = z \end{cases}$

Donde:

$\alpha\,$, es un parámetro relacionado con la aceleración del observador.^[1]

$(t,x,y,z)\,$, son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador.

Usando estas coordenadas, la cuña de Rindler del espacio de Minkowski tiene una métrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresión:

$ds^2 = e^\frac{2\alpha x}{c^2}(-dt^2+dx^2)+dy^2+dz^2, \qquad (t, x, y, z) \in \times\R^4$

Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado según el eje X, cuya cuadriaceleración obtenida como derivada covariante de la cuadrivelocidad está relacionada con el valor de la coordenada x:

$\nabla_{\mathbf{e}_0} \mathbf{e}_0 = \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}\ \mathbf{e}_1, \qquad \mathbf{a} = (a^0; a^1, a^2, a^3) = \left(0; \alpha e^{-\frac{\alpha x}{c^2}}, 0, 0\right)$

Horizonte de Rindler

Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene horizonte de eventos, es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cuña de Rindler):

$H^-_{Rind} = \{(T, X, Y, Z)|X^2-c^2T^2 = 0\} = \{(t,x,y,z)| x = -\infty \}$

tal que la luz del otro lado jamás alcanzaría al observador acelerado. Este horizonte de sucesos es del mismo tipo que el horizonte de sucesos que ve un obsevador situado fuera de un agujero negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos no pueden ser vistos por estos observadores.

El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de eventos no está asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografía del espacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningún horizonte de eventos pero sí lo ve un observador acelerado.

Movimiento acelerado en mecánica cuántica

Artículo principal: Efecto Unruh

En 1975, Stephen Hawking conjeturó que cerca del horizonte de eventos de un agujero negro debía aparecer una producción de partículas cuyo espectro de energías correspondería con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un análisis de observadores acelerados, Paul Davies probó que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).^[2]

En 1976, Bill Unruh basándose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un observador uniformemente acelerado observaría radiación de tipo Hawking donde un observador inercial no observaría nada. En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vacío es percibido como más caliente por un observador acelerado.^[3] La temperatura efectiva observada es proporcional a la aceleración y viene dada por:

$kT = \frac{\hbar a}{2\pi c}$

Donde:

$k\,$, constante de Boltzmann.

$\hbar$, constante de Planck racionalizada.

$c\,$, velocidad de la luz.

$T\,$, temperatura absoluta del vacío, medida por el observador acelerado.

$a\,$, aceleración del observador uniformemente acelerado.

De hecho el estado cuántico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio térmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleración una propiedad absoluta: un observador acelerado moviéndose en el espacio abierto puede medir su aceleración midiendo la temperatura del fondo térmico que le rodea. Esto es similar al caso relativista clásico, en donde un observador acelerado que observa una carga eléctrica en reposo respecto a él puede medir la radiación emitida por esta carga y calcular su propia aceleración absoluta.

Véase también

• Movimiento uniformemente acelerado
• Cinemática
• Movimiento rectilíneo
• Movimiento rectilíneo uniforme
• Caída libre
• Movimiento circular

Referencias

1. ↑ What a Rindler Observer Sees in a Minkowski Vacuum
2. ↑ Scalar production in Schwarzschild and Rindler metrics
3. ↑ Detección experimental de la radiación Unruh

Bibliografía

• González, José T. (1991) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004) (en español). Física 4ª. CECSA, México.. ISBN 970-24-0257-3. 
• González, Ignacio A. (1995) (en español). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos