Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.^[1] Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.^[2] La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860^[3] y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.^[2]

Definición formal

Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo $\varepsilon > 0 \;$ existe un $\delta > 0 \;$ tal que para todo número real x en el dominio de la función $0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon$.

Esto, escrito en notación formal:

$\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}$

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.

No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet $D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida como:

$D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{racional} \\ d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\ \end{cases}$

donde no existe un número c para el cual exista $\lim_{x \to c}f(x)\quad$. Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Límites laterales

El límite cuando: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Por lo tanto, el límite cuando x → x₀ no existe.

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):

$\lim_{x \to c^+}f(x) = L^+$

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

$\lim_{x \to c^-}f(x) = L^-$

Si los dos límites anteriores son iguales:

$\lim_{x \to c^-}f(x) = \lim_{x \to c^+}f(x) = L$

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Funciones en espacios métricos

Existe otra manera definición de límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos:

Supóngase f : (M, d_M) → (N, d_N) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en c es L" y escribimos

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, c) < δ, tenemos d_N(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

si $0 < \left| x - c \right| < \delta$ , entonces $\left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon$

De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:

1. x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).
2. x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.
3. La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindad horizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuando en ese punto c no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.

Unicidad del límite

Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.^[4]

Supongamos que $\textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$, veamos que no puede ser que $L'\neq L$ también verifique la definición. Para ello tomamos un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límite $f(x)\in E$ para todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.

Propiedades de los límites

Propiedades generales

Si k es un escalar:

Límite de	Expresión
Una constante	$\lim_{x \to c} k =\, k\,$
La función identidad	$\lim_{x \to c} x = \, c \,$
El producto de una función y una constante	$\lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,$
Una suma	$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,$
Una resta	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un producto	$\lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un cociente	$\lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,$
Una potencia	${\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0$
Un logaritmo	${\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}$
El número e	${\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e$
Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal	${\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0$.

Indeterminaciones

Véase también: Forma indeterminada

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere $\infty \,\!$ como el límite que tiende a infinito y $0 \,\!$ al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación	Indeterminación
Sustracción	$\infty - \infty$
Multiplicación	$\infty \cdot 0$
División	$\cfrac{\infty}{\infty}, \cfrac{0}{0}$
Elevación a potencia	$1^\infty, \infty ^0, 0^0$

Ejemplo.

0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=0$

Regla de l'Hôpital

Artículo principal: Regla de l'Hôpital

Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.

• $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Por ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2x)}{3 \cos (3x)} = \frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} = \frac{2}{3}.$

Límites trigonométricos

1. ${\lim_{x \to \infty} x \; \sin \left (\frac {2\pi}{x} \right ) \cos \left (\frac {2\pi}{x} \right )} =\,2\pi$
2. ${\lim_{x \to 0} {{\sin x} \over x}} = {\lim_{x \to 0} {{x \over \sin x}}} =\, 1 \,$
3. ${\lim_{x \to 0} {\tan x \over x}} = {\lim_{x \to 0} {x \over \tan x}} =\, 1 \,$
4. ${\lim_{x \to 0} {\sin x \over \tan x}}\, = {\lim_{x \to 0} {\tan x \over \sin x}} =\, 1$
5. ${\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos x}{x^2} } =\, 1/2 \,$

Demostraciones

Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, se utilizará la inecuación sin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sin(x), obteniendo:

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

$\lim_{x\to 0} \cos x < \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} < \lim_{x\to 0} 1$

Lo que es igual a:

$1 < \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} < 1$

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

${\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} = {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\sin x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}= 1 \cdot 1 = 1$

Véase también

• Límite matemático
• Límite superior y límite inferior
• Topología de red, una generalización del concepto de límite.

Referencias

1. ↑ MacTutor History of Bolzano
2. ↑ ^{a b} Jeff Miller's history of math website.
3. ↑ MacTutor History of Weierstrass.
4. ↑ Kolmogorov, Andrei (1978). «Espacios métricos y topológicos» (en español). Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional (3 edición). Moscú: Mir. 

Enlaces externos

• Límites y continuidad de funciones.
• Weisstein, Eric W. «Limit» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.