Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol. Aunque él no las enunció en el mismo orden, en la actualidad las leyes se numeran como sigue:

• Primera ley (1609): todos los planetas se desplazan alrededor del Sol siguiendo órbitas elípticas. El Sol está en uno de los focos de la elipse.

• Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

La ley de las áreas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular L es el producto de la masa del planeta, su velocidad y su distancia al centro del Sol.

$L = m \cdot r_1 \cdot v_1 = m \cdot r_2 \cdot v_2 \,$

• Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor al de su órbita elíptica.

$\frac{T^2}{L^3}=K=\text{constante}$

Donde, T  es el periodo orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol), (L)  la distancia media del planeta con el Sol y K  la constante de proporcionalidad.

Estas leyes se aplican a otros cuerpos astronómicos que se encuentran en mutua influencia gravitatoria, como el sistema formado por la Tierra y la Luna.

Formulación de Newton de la tercera ley de Kepler

Antes de que se produjeran las leyes de Kepler ubo otros cientificos como Cópernico, Ptolomeo y Tycho Brahe que fue un gran astronomo cuya principal contribución al avance de la ciencia estuvo en haber conseguido medidas muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas, uno de sus díscipulos fue Kepler Kepler permitió descrubir el movimiento de los planetas. Utilizó grandes conociemientos matemáticos para encontrar relaciones entre los datos de las observaciones astronómicas obtenidas por Tycho Brahe y con ellos logró componer un modelo heliocéntrico del universo.Comenzó trabajando al modo tradicional, planteando trayectorias excéntricas y movimientos en epiciclos, pero encontró en que esos datos los situaban fuera del esquema de habia establecido Copérnico, lo que le llevó a pénsar que no describía una orbita circular. Ensayó otras fromas para las orbítas y encontró que los planetas describían órbitas elípticas que tenían al Sol en uno de sus focos.Analizando los datos de Brahe, Kepler descurbió también que la velocidad de los planetas no es constante, si no que el radio vector que los une con el Sol describe áreas iguales rn tiempos iguales. En consecuencia, la velocidad de los planetas es mayor cuando están próximos al Sol(perihelio) que cuando se mueven por las zonas mas alejadas(afelio).Y esto dio lugar a las Leyes de Kepler, enuncio las tres leyes del movimiento planetario o leyes de Kepler. Las leyes de Kepler representan una descripción cinematica del sistema solar.

• PRIMERA LEY DE KEPLER:Todos los planetas se mueven alrededor del Sol sigueien órbitas elipticas. El Sol está en un de los focos de la elipse.(a y b con semejantes a la elipse)
• SEGUNDA LEY DE KEPLER: Los planetas se mueven con velocidad areolar constante. Es decir, el vector posicion r de cada planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Se puede demostrar que el momento angular es constantes y por la tanto a la condición que se llega es:

      -Describen órbitas planas y estables.
      -Recorren la órbita siempre en el mismo sentido.
      -Se mueven bajo la acción de fuerzas centrales.

• TERCERA LEY DE KEPLER: para todos los planetas ``T´´ al cuadrado partido ``a´´ al cubo es igual a ``k´´ que es una constante.

El estudio de Newton de las leyes de Kepler condujo a su formulación de la ley de la gravitación universal.

La formulación matemática de Newton de la tercera ley de Kepler es:

La fuerza gravitacional crea la aceleración centrípeta necesaria para el movimiento circular:

$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$

Al reemplazar la rapidez v por $\left(\frac{2\pi r}{T}\right)$ (el tiempo de una órbita completa) obtenemos

$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$

Donde, T  es el periodo orbital, r  el semieje mayor de la órbita, M es la masa del cuerpo central y G  una constante denominada Constante de gravitación universal cuyo valor marca la intensidad de la interacción gravitatoria y el sistema de unidades a utilizar para las otras variables de esta expresión.

Cabe destacar que las Leyes de Kepler no son leyes, como tal, ya que son deducibles a partir de la Gravitación Universal de Newton, sin embargo, conservan ese nombre (Leyes) en honor a Kepler.

Referencias

Enlaces externos

• Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html, un libro electrónico que ofrece una prueba de la primera ley sin el uso del cálculo. (section 5.2, p. 112)
• David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law - Java Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html, an interactive Java applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
• Audio - Cain/Gay (2010) Astronomy Cast Johannes Kepler and His Laws of Planetary Motion
• University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion [1]
• Equant compared to Kepler: interactive model [2]
• Kepler's Third Law:interactive model [3]
• Solar System Simulator (Interactive Applet)
• Kepler and His Laws, educational web pages by David P. Stern
• [4], Descripción detallada de la segunda ley de Kepler.