Operación matemática

En matemática una operación es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.

El conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial).

Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.

Operación interna

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Es la operación $\circ$ en la que, tanto en sus elementos iniciales como en su resultado, sólo interviene un conjunto A único.

$f: \;A \times A \times A \times \cdots \times A \to A$

de n argumentos.

Que también puede expresarse:

$(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n ) \; \xrightarrow{\circ} \; b$

O también:

$\circ(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n ) \; \to \; b$

Por el número de términos de la operación podemos diferenciar:

Operación unaria

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Operación unaria, con un solo parámetro:

$f: \; A \to A$

también suelen denominarse funciones. Vamos unos ejemplos:

Dado el conjunto de los números naturales N, definimos la operación unaria incremento, como la operación que para cada número natural n calcula el siguiente:

$in (n )= n+1 \;$

Partiendo de los números enteros Z, la operación opuesto determina para cada número entero e su opuesto;

$op(e) = - e \;$

Operación binaria

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La operación binaria es un caso muy importante, cuando n es igual a dos, que se representa:

$f: \; A \times A \to A \;$

y también:

$a \circ b \; \to \; c$

$(a, b ) \; \xrightarrow{\circ} \; c$

$\circ(a, b ) \; \to \; c$

Ejemplos

En el conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$, la operación de adición: +, $( N , +) \,$, se expresa:

1. $(+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N})$
2. $a, b, c \in\mathbb{N}, \quad a + b \to c$
3. $a, b, c \in\mathbb{N}, \quad (a, b ) \; \xrightarrow{+} \; c$
4. $a, b, c \in\mathbb{N}, \quad +(a, b ) \; \to \; c$

Como operaciones binarias, donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.

Operación n-aria

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Diremos que $f_{}^{}$ es una operación n-aria en el conjunto $A_{}^{}$, si:

$f: A_{}^{n} \to A$

a $n_{}^{} \in \mathbb{N}$ se le llama la ariedad o anidad.

Operación externa

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Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:

$f: \; B \times A \longrightarrow A$

esta aplicación se dice que es una operación externa.

Ejemplo: Dado el conjunto $V_2 \;$ de los vectores en el plano y el conjunto de escalares $\R$ de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:

$\cdot : \; \R \times V_2 \longrightarrow V_2$

Dado el vector:

$3i +6j \;$

Si lo multiplicamos por un escales 3:

$3 \cdot (3i +6j) \longrightarrow (9i +18j)$

podemos ver que los dos vectores son del plano:

$(3i +6j), (9i +18j) \in V_2$

Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:

$f : \; A \times A \longrightarrow B$

se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano, da como resultado un número real, esto es:

$\circ : \; V_2 \times V_2 \longrightarrow \R$

Tomando los vectores del plano:

$\vec{u} = (x_1, y_1)$

$\vec{v} = (x_2, y_2)$

Y siendo su producto escalar:

$\vec{u} \circ \vec{v} = (x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:

$\vec{u} = (3, 6)$

$\vec{v} = (5, 2)$

Operando

$\vec{u} \circ \vec{v} = (3, 6) \circ (5, 2) = 3 \cdot 5 + 6 \cdot 2 = 15 + 12 = 27$

Véase también

• Relación matemática
• Correspondencia matemática
• Función matemática