Ley cero-uno de Kolmogórov

La ley cero-uno de Kolmogorov es un teorema de la teoría de las probabilidades llamado así en honor al matemático ruso Andréi Kolmogorov que dice que la probabilidad que cierto tipo de evento llamado evento de cola (tail event en inglés) es cero o uno. Los eventos de cola son aquellos eventos definidos por una sucesión infinita de eventos independientes, pero que son independientes de cualquier subconjunto finito de éstos.

Por ejemplo, supongamos infinitas tiradas de una moneda. El evento: "salga en total una cantidad finita de caras" es independiente de cualquier número finito de tiradas. Examinando una cantidad finita de tiradas no podemos concluir nada respecto a si la cantidad de caras fue finita o infinita.

Teorema formal y demostración

Sea $\left\{\mathcal{G}_i :i\in \mathbb{N}\right\}\,$ sigma-álgebras independientes definidas para un espacio $\Omega\,$ y una medida de probabilidad $\mathbb{P}\,$. Definimos las siguiente sigma-álgebras :

$\mathcal{H}_n=\bigcup_{i>n}\mathcal{G}_i,\quad\text{y}\quad \mathcal{H}_{\infty}=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\mathcal{H}_n$

Entonces, para todo $H\in\mathcal{H}_\infty$ tenemos que $\mathbb{P} H=0$ o $\mathbb P H=1$.

Demostración

Consideremos el conjunto de sigma-álgebras $\left\{\mathcal{H}_\infty ,\mathcal{G}_i : i\in \mathbb{N}\right\}$. Tenemos que cualquier subconjunto finito de este conjunto forman un grupo independiente de sigma-álgebras. Esto es porque si elegimos una cantidad finita de miembros de $\left\{\mathcal{G}_i :i\in \mathbb{N}\right\}\,$, tenemos que $\mathcal{H}_\infty \subseteq \mathcal{H}_N$, con N el máximo índice de los $\mathcal{G}_i\,$ elegidos. Por lo tanto, todas las sigma-álgebras de dicho conjunto son independientes entre sí, lo que implica que $\mathcal{H}_\infty\,$ y $\mathcal{F}_\infty := \sigma \left( \bigcup_{i\in \mathbb{N}} \mathcal{G}_i \right)$ son independientes. Como además $\mathcal{H}_\infty\subseteq\mathcal{F}_\infty$ tenemos entonces que cada $H \in \mathcal{H}_\infty$ es independiente de sí mismo, implicando que:

$\mathbb{P}H=\mathbb{P}(H\cap H)=(\mathbb{P}H)(\mathbb{P}H)$

de donde se concluye el resultado.

(Fin de la demostración)$\blacksquare$

Referencias

• David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).