Lema de Yoneda

El lema de Yoneda en Teoría de las categorías nos permite sumergir una categoría en otra categoría de funtores definida sobre aquella, y clarifica cómo la categoría sumergida se relaciona con los objetos de la categoría de funtores que la sumerge. Es una herramienta importante que se encuentra subyacente a varios de los desarrollos modernos en Geometría algebraica y Teoría de la representación. Es una extensa generalización del Teorema de Cayley de la Teoría de grupos (todo grupo es un monoide que es una categoría con un sólo objeto).

Algo sobre su filosofía

Hablando en general, el lema de Yoneda sugiere que en vez de investigar la categoría(pequeña) C, podemos estudiar la categoría de todos los funtores desde C a la categoría Set (donde Set es la categoría de todos los conjuntos con las aplicaciones en el papel de morfismos). Set es la categoría que mejor entendemos, y un funtor de C a Set puede verse como una "representación" de C en términos de estructuras conocidas. La categoría original C está contenida en dicha categoría de funtores, pero en esta aparecerán objetos nuevos que en cierto modo estaban escondidos en C. Tratando tales objetos nuevos como los viejos en C a menudo unificamos y simplificamos la teoría.

Este modo de ver es parecido (y de hecho lo generaliza) al método corriente de estudiar un anillo mediante el estudio de los módulos sobre el anillo. El anillo haría el papel de la categoría C, y la categoría de funtores donde se le embebe sería la categorías de módulos sobre el anillo embebido.

Lema de Yoneda

Un objeto A de una categoría C define un funtor covariante de C en la categoría Set de los conjuntos :

$X\rightarrow h_A(X)=Hom_C(A,X)\,$

De esta manera disponemos de un funtor contravariante de C en la categoría Func(C,Set) de los funtores contravariantes de C en Set. Todo morfismo de A a B en la categoría C induce un morfismo de h_B en h_A. El lema de Yoneda afirma que estos son los únicos morfismos de los que disponemos; además, mediante el lema se caracterizan los conjuntos de morfismos de h_A a cualquier otro funtor de C a Set.

Enunciado

Para todo objeto A de una categoría C, todo morfismo ψ de h_A sobre un funtor T:C$\rightarrow$Set está definido únicamente por el elemento de T(A) que se define como la imagen de Id_A en h_A(A) por ψ(A). Más precisamente, disponemos de una biyección:

$Hom(h_A,T)\rightarrow T(A\,)$ $\psi\rightarrow \psi(A)(Id_A)\,$

En particular, para todos los objetos A y B de C, tenemos:

$Hom(h_A,h_B)=Hom(B,A)\,$

h se denomina el embebimiento de Yoneda.

Demostración

Inyectividad

Con las notaciones de arriba, consideremos ψ un morfismo de h_A sobre T. Para todo elemento f en h_A(B) = Hom_C(A,B), tenemos :

$f=h_A(f)(Id_A)\,$

Aplicando a esta identidad la aplicación conjuntista $\psi(B):h_A(B)\rightarrow T(B)$, obtenemos :

$\psi(B)(f)=\psi(B)\left[h_A(f)(Id_A)\right]=T(f)\left[\psi(A)(Id_A)\right]$

donde la segunda igualdad viene de la definición de un morfismo de funtores. El elemento ψ(B)(f) es por tanto la imagen de ψ(A)(Id_A) mediante T(f). De hecho, haciendo variar f, se demuestra que ψ está unívocamente determinadad por ψ(A)(Id_A). La aplicación dada es inyectiva.

Sobreyectividad

Sea un elemento v de T(A). La prueba de la inyectividad permite intuir un (forzosamente único) antecedente de v. Para todo objeto B de C, definimos :

$\psi_v(B):h_A(B)\rightarrow T(B)\,$ $f\mapsto T(f)(v)$

Verifiquemos que ψ_v es un morfimo de funtores. Para toda flecha $g:B\rightarrow C$ y para todo elemento f de h_A(B), podemos escribir :

$T(g)\left[\psi_v(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi_v(C)(g.f)$

Ahora bien, la composición g.f puede ser vista como la imagen def por h_A(g). Por tanto, la identidad obtenida se reescribe:

No se pudo entender (<math_output_error>): T(g)\left[\psi_v(B)(f)\right]=\psi_v(C)\left[h_A(g)(f)\right]

Haciendo variar f :

$T(g)\circ \psi_v(B)=\psi_v(C)\circ h_A(g)$

Siendo esto verificado para toda flecha g, ψ_v es un funtor de h_A sobre T y su imagen es casi por definición v (se ha definido para ello).