Lema de Reynolds

Lema de Reynolds

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El Lema de Reynolds introducido por el ingeniero irlandés Osborne Reynolds que demuestra que la variación de flujo de una propiedad es igual a la variación de la propiedad dentro del flujo:

$\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)}\rho\frac{d\psi}{dt}\ \; d\ V$

Demostración

Sea A una cierta propiedad genérica (escalar, vectorial o tensorial) de un medio continuo, y sea ψ(x, t ) la cantidad de esta propiedad A por unidad de masa. Por consiguiente, ρψ(x,t) es la cantidad de la propiedad por unidad de volumen.

Consideremos un volumen material arbitrario de medio continuo que en el instante t ocupa en el espacio un volumen V. La cantidad de la propiedad genérica A en el volumen material V en el instante t será:

$\ Q(t) =\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V$

Donde ψ es la propiedad a estudiar

La variación a lo largo del tiempo del contenido de la propiedad A en el volumen material V vendrá dada por la derivada temporal de Q(t) , que utilizando la expresión de la derivada material de una integral de volumen será:

$\ Q'(t) =\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)} [\frac{d\rho\psi}{dt}\ +\rho\psi\nabla\cdot\ v ]\; d\ V$

Utilizando la expresión para la derivada material de un producto de funciones, agrupando términos y utilizando la ecuación de continuidad:

$\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)} [\rho\frac{d\psi}{dt}\ + \psi\frac{d\rho}{dt} +\rho\psi\nabla\cdot\ v ]\; d\ V$

$=\int_{V_f(t)} [\rho\frac{d\psi}{dt}\ + \psi [\frac{d\rho}{dt} +\rho\nabla\cdot\ v ]]\; d\ V$

Como $\frac{d\rho}{dt} +\rho\nabla\cdot\ v = 0$ por continuidad, se llega a la conclusión de que:

$\frac{d}{dt}\int_{V_f(t)}\rho\Psi\; d\ V =\int_{V_f(t)}\rho\frac{d\psi}{dt}\ \; d\ V$

Obtenido de "Lema de Reynolds"