Krigeaje

El krigeaje o krigeado (del francés krigeage) es un método geoestadístico de estimación de puntos que utiliza un modelo de variograma para la obtención de datos. Calcula los pesos que se darán a cada punto de referencias usados en la valoración. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial continúa con el mismo patrón. Fue desarrollada inicialmente por Danie G. Krige a partir del análisis de regresión entre muestras y bloques de mena, las cuales fijaron la base de la geoestadística lineal.

Introducción

El kriging puede ser entendido como una predicción lineal o una forma de inferencia bayesiana. Parte del principio: puntos próximos en el espacio tienden a tener valores más parecidos que los puntos más distantes. La técnica de kriging asume que los datos recogidos de una determinada población se encuentran correlacionados en el espacio. Esto es, si en un vertedero de residuos tóxicos y peligrosos la concentración de zinc en un punto p es x, será muy probable que se encuentren resultados muy próximos a x cuanto más próximos se esté del punto p (principio de geoestadística). Sin embargo, desde una cierta distancia de p, ciertamente no se encontrarán valores próximos a x porque la correlación espacial puede dejar de existir.

Se considera al método de kriging del tipo MELI (Mejor Estimador Lineal Insesgado) o ELIO (Estimador Lineal Insesgado Óptimo): es lineal porque sus estimaciones son combinaciones lineales ponderadas de los datos existentes; y es insesgado porque procura que la media de los errores (desviaciones entre el valor real y el valor estimado) sea nula; es el mejor (óptimo) porque los errores de estimación tienen una variancia (variancia de estimación) mínima. El término kriging abarca una serie de métodos, el más común es el siguiente:

Tipos de Kriging

Kriging simples

Asume que las medias locales son relativamente constantes y de valor muy semejante a la media de la población que es conocida. La media de la población es utilizada para cada estimación local, en conjunto con los puntos vecinos establecidos como necesarios para la estimación.

Kriging ordinario

Las medias locales no son necesariamente próximas de la media de la población, usándose apenas los puntos vecinos para la estimación. Es el método más ampliamente utilizado en los problemas ambientales.

Cokriging

Es una extensión de las situaciones anteriores en las que dos o más variables tienen una dependencia espacial y esa variable se estima que no se muestra con la intensidad con la que otros son variables dependientes, con estos valores y sus dependencias para estimar la variable requiere.

Conceptos matemáticos

El método de Kriging utiliza diversas teorías explayadas en la estadística. En tanto, para que esta teoría estadística se vea más clara en el ámbito de aplicación; se explican algunos conceptos.

Semivariancia y semivariograma

Variograma

Una semivariancia es la medida del grado de dependencia espacial entre dos muestras. La magnitud de la semivariancia entre dos puntos depende de la distancia entre ellos, implicando en semivariancias menores para distancias menores y semivariancias mayores para distancias mayores. El gráfico de las semivariancias en función de la distância a un punto es llamado de semivariograma. A partir de una cierta distancia, la semivariancia no más aumentará con la distsncia y se estabilizará en un valor igual a la variancia media, dando a esa región el nombre de silo o patamar (sill). La distancia entre el inicio del semivariograma al comienzo del silo recibe el nombre de rango. Al extrapolar la curva del semivariograma para la distancia cero, podemos llegar a un valor no-nulo de semivariancia. Ese valor recibe el nombre de efecto pepita (Nugget Effect).

Modelos de Variograma

En el Método de Kriging normalmente son usados cuatro tipos de variogramas: usadas las siguientes variables:

$v\,$: variancia

$c_0\,$: nugget

$a\,$: silo

$c_0+c\,$: variancia asintótica

$h\,$: distancia de separación

Linear

Este modelo no presenta silo y es muy simple. Su curva puede ser representada por:

$v= c_0+ch\,$

Esférico

Una forma esférica es la más utilizada en el silo. Su forma es definida por:

$v=\begin{cases} c_0+c[1.5(\frac{h}{a})-0.5(\frac{h}{a})^3], & \mbox{se }h<a \\ c_0+c, & \mbox{se } h>a\end{cases}$

Exponencial

La curva de variograma exponencial respeta la siguiente ecuación:

$v=c_0+c (1-e^\frac{-h}{b})\,$

Gaussiano

Una forma gaussiana es dada por:

$v=\begin{cases} c_0+c(1-e^\frac{-h^2}{a^2}), & \mbox{se }h<a \\ c_0+c, & \mbox{se } h>a\end{cases}$

Método de Kriging

Determinación del semivariograma

Tomando como base una simulación de un sistema de dos dimensiones (2 D) que contienen un número finito de puntos donde es posible una medición de cualquier tamaño. Luego de la adquisición de estos datos, se iniciará la interpolación Kriging buscando alcanzar una mayor resolución. El primer paso es construir un semivariograma experimental. Para tal, se calcula la semivariancia de cada punto en relación a los demás y se ve en un gráfico de la semivariancia por la distancia.

$v(h=d_{ip})=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}(f_i-f_p)^2$

A partir de ese gráfico se estima el modelo de variograma que mejor se aproxima a la curva obtenida. El efecto pepita puede estar presente en el semivariograma experimental y debe ser considerado. Determinado el modelo de semivariograma a ser usado, se inicia la fase de cálculos. Siendo el semivariograma una función que depende de la dirección, es natural que presente valores diferentes conforme la dirección, recibiendo este fenómeno el nombre de anisotropía. Un caso de semivariograma presente una forma semejante en todas las direcciones del espacio, va a depender de h, diciéndose que es una estructura isotrópica, i. e., sin direcciones privilegiadas de variabilidad.

Cálculo de los Pesos

Considere, para el cálculo del kriging, la siguiente fórmula:

$F(x,y)=\sum_{i=1}^{n}w_if_i$

donde n es el número de muestras obtenidas, f_i es el valor obtenido en el punto i y w_i es el peso designado al punto i. A fim de obtener los pesos de cada uno de los n puntos, para cada uno de ellos se realiza un cálculo de w₁,w₂,...,w_n. Tal procedimento depende del tipo de kriging que está siendo utilizado. Hacemos hincapié en la siguiente notación:

$w_j\,$: peso del j-ésimo punto

$S(d_{ij})\,$: valor de la semivariancia de d_ij

$\lambda\,$: variable temporaria

Kriging ordinario

En ese caso es utilizada la media local de los puntos mostrados. Por consiguiente, debe normalizarse la media de los pesos. Consecuentemente, se tiene un resultado más preciso del Kriging Simple. El uso será de las siguientes ecuaciones para determinar los valores de los pesos en el p-ésimo punto:

$\begin{cases} w_1S(d_{11})+w_2S(d_{12})+...+w_nS(d_{1n})+\lambda=S(d_{1p}) \\ w_1S(d_{21})+w_2S(d_{22})+...+w_nS(d_{2n})+\lambda=S(d_{2p}) \\ \wr \\ w_nS(d_{n1})+w_2S(d_{n2})+...+w_nS(d_{nn})+\lambda=S(d_{np}) \\ w_1+w_2+...+w_n=1 \end{cases}$

Kriging Simples

Para este caso, utilizar la media de todos los dados. Implicando, por tanto, que no se normalice en la ubicación promedio de los pesos, como en el anterior. Así, tenemos casi la misma ecuación, excepto por la exclusión de λ y por la última equación. La característica principal de este método es la generación de gráficos más lisos y más estéticamente suaves. Cabe señalar que este caso es menos exacto que el caso anterior. Los valores de los pesos para el p-ésimo punto serán dados por:

$\begin{cases} w_1S(d_{11})+w_2S(d_{12})+...+w_nS(d_{1n})=S(d_{1p}) \\ w_1S(d_{21})+w_2S(d_{22})+...+w_nS(d_{2n})=S(d_{2p}) \\ \wr \\ w_nS(d_{n1})+w_2S(d_{n2})+...+w_nS(d_{nn})=S(d_{np}) \end{cases}$

Obtención de Punto Interpolado

Cuando llegamos a los valores de w₁,w₂,...,w_n, se calculan los valores de f_p:

$f_p=w_1f_1+w_2f_2+...+w_nf_n\,$

De esa manera, se calcula el valor interpolado para todos los puntos deseados. Se resalta que solamente deben ser utilizados los valores adquiridos arriba.

Interpolando Otros Puntos

La obtención del valor interpolado en otro punto requiere la repetición de todos los cálculos realizados a partir de la obtención del modelo de variograma. De esa forma, para aumentar la resolución que se pretendía, se debe recurrir a métodos matemáticos para la resolución computacional. Diversos códigos se han desarrollados para esa resolución, mas uno de los mejores algoritmos puede ser obtenido del link de abajo. Fue inicialmente hecho para lenguaje Fortran, y puede ser recodificado para C con la ayuda de la biblioteca fortran2c , presentándose totalmente en C:

• Kriging Interpolation Algorithm in C

Enlaces externos

• SPRING - Geoestadística - Krigeaje
• Modelos de Datos Geográficos
• Kriging(ems-i)