Álgebra de conjuntos

En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, etc.

Conjuntos

Artículo principal: Conjunto

Operaciones con conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, esté puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como x ∈ A.
• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamento por sus elementos.
• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Operaciones con conjuntos

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.^[1]

Referencias

1. ↑ Véase Barco Gómez, 2005, p. 21.

• Barco Gómez, Carlos (2005). Álgebra Booleana. Aplicaciones tecnológicas. Universidad de Caldas. ISBN 9789588231389. 
• Larson, Harold J. (2002). Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística. Editorial Limusa. ISBN 9789681807306. 
• Nachbin, Leopoldo (1980). Introducción al álgebra. Reverté. ISBN 9788429150995. 
• Rivaud, J. (1981). Ejercicios de álgebra. ISBN 9788429151312. 

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Teoría de axiomática de conjuntos

Enlaces externos

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