Homomorfismo evaluación

Sean dos anillos $(R,+,\cdot)$ y $(S,+,\cdot)$ de forma que R es subanillo de S. Sea $\alpha \in L$.

Construimos la aplicación $\beta: R[x] \longrightarrow S$ que a cada polinomio $p(x) \in R[x]$ le hace corresponder su evaluación en α, i.e., β(p) = p(α). Esta aplicación es un isomorfismo de anillos (que se denomina homomorfismo evaluación):

• β(p + q) = (p + q)(α) = p(α) + q(α) = β(p) + β(q);
• $\beta(p\cdot q)= (p\cdot q)(\alpha)= p(\alpha) \cdot q(\alpha)=\beta(p)\cdot \beta(q)$;

cualesquiera que sean $p,q \in R[x]$.

Además, si R y S fuesen anillos y unitarios entonces:

• β(1) = 1,

con lo que β sería un homomorfismo de anillos unitarios.