Hipotrocoide

Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.

La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).

Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.

Hipotrocoide (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 5, r = 3, d = 5).

La elipse como caso particular de hipotrocoide. Parámetros: R = 10, r = 5 = R/2, d = 1.

Ecuaciones

Siendo $q=\dfrac{a}{b}$ (donde q > 1) y d = kb, con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio b, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:

$z = (a-b) e^{it} + d e^{-i(q-1)t} \,$

donde:

$qz = a[(q-1) e^{it} + k e^{-i(q-1)t}] \,$

q(x + iy) = a(q − 1)cos(t) + ia(q − 1)sin(t) + akcos[(q − 1)t] − iaksin[(q − 1)t]

Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:

$qx = a(q-1) \cos(t) + ka \cos[(q-1)t)]; \,$

$qy = a(q-1) \sin(t) - ka \sin[(q-1)t)]; \,$

donde:

$q = \dfrac{a}{b}$ y $k=\dfrac{d}{b} \,$.

Sabiendo que a = R, b = r y t = θ, obtenemos las ecuaciones siguientes:

$x = (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right)$

$y = (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right)$

el ángulo θ varía de 0 a 2π.

Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde R = 2r.

Las hipocicloides son casos particulares, donde d = r (el punto fijo de la generatriz)

Véase también

• Epitrocoide
• Hipocicloide

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Hypotrochoid» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques, «Hypotrochoid» (en francés), Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, http://www.mathcurve.com/courbes2d/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml .