Hélice (geometría)

Hélice (geometría)
Para otros usos de este término, véase Hélice.
GIF de una hélice.

Una hélice, en geometría, es el nombre que recibe toda línea curva cuyas tangentes forman un ángulo constante (α), siguiendo una dirección fija en el espacio.

Contenido

Ecuación vectorial

Si su ecuación vectorial es \bar{R} = \bar{R}(s), siendo s el arco, quiere decir que existe un vector unitario \bar{a} fijo tal que para todo s se verifica \bar{T}(s) \cdot\bar{a}=\cos \alpha (constante).

Teorema de Lancret

Una caracterización de las hélices viene dada por el siguiente teorema conocido como teorema de Lancret.

Es condición necesaria y suficiente para que una curva sea una hélice el que se verifique \frac{\kappa}{\tau}=\tan \alpha, siendo tan α una constante. Aquí \kappa \, es la curvatura y \tau \, la torsión.

Hélices singulares

Las hélices más singulares son: la hélice circular, o hélice cilíndrica, la hélice cónica y la hélice esférica.

Hélice cilíndrica

Paso dos a derecha.
Paso dos a izquierda.
Paso tres a derecha.
Paso tres a izquierda.
Paso cuatro a derecha.
Paso cuatro a izquierda.
De una entrada a derecha.
De una entrada a izquierda.
De dos entrada a derecha.
De dos entrada a izquierda.
De tres entrada a derecha.
De tres entrada a izquierda.

Una hélice cilíndrica es una curva que corta a las generatrices de un cilindro recto con un ángulo constante. Es decir, que la distancia entre dos puntos de corte consecutivos de la hélice con cualquiera de las mencionadas generatrices (rectas paralelas al eje del cilindro y contenidas en su superficie externa) es una constante de la curva, independiente de la generatriz o los puntos escogidos, llamada "paso de hélice".

Expresión analítica

Desde un punto de vista analítico, una hélice queda definida por las siguientes expresiones parametrica:

x = r \cos (\omega \, t) \,
y = r \sin (\omega \, t) \,
z = k \, t \,

Donde r es el radio de giro de la espiral,  \omega \, es el ángulo girado por unidad de tiempo, t es el tiempo y k es el avance en el sentido z por unidad de tiempo.

Si de la tercera ecuación:

z = k \, t \,

despejamos t:

t = \frac{z}{k} \,

y lo sustituimos en las dos primeras, tendremos:

x = r \cos \Big (\frac{\omega \,z}{k} \Big ) \,
y = r \sin \Big (\frac{\omega \,z}{k} \Big ) \,

Como  \omega \, y  k \, son valores conocidos y constantes, podemos definir:

 a =\frac{\omega}{k}  \,

con lo que tenemos:

x = r \cos ( a \,z) \,
y = r \sin ( a \,z ) \,

Con lo que queda determinadas las coordenadas de la espiral, obteniéndose x e y en función de los parámetros de la espiral y de z.

Propiedades

  • La proyección de la hélice sobre un plano paralelo al eje del cilindro es una curva sinusoidal.
  • La geodésica de un cilindro recto de base circular es un arco de hélice (es decir, el camino más corto entre dos puntos situados en la superficie de un cilindro, que no salga de dicha superficie, es un trozo de hélice).
Forma de hélice cónica en la naturaleza.

Hélice cónica

Esta curva esta situada sobre un cono y siguiendo de forma paralela el eje longitudinal de éste, similar a la formada en un cilindro visto en perspectiva.

 x = z \; \sin(t)
 y = z \; \cos(t)
 z = k \; t

donde k es contante y t es la variable independiente.

Expresión analítica

x = t \cos t\,
y = t \sin t\,
z = a t\,

Hélice esférica

Se denomina hélice esférica a la contenida en una superficie esférica. Por ser hélice se verificará \frac{\kappa}{\tau}=\tan \alpha \, (constante), o lo que es lo mismo \tau = \kappa \cot \alpha \,.

Por ser una curva esférica la esfera osculatriz será constante, siendo la esfera sobre la que está situada la curva. Entonces, el radio de la esfera osculatriz es constante. Por consiguiente \frac{1}{\kappa^{2}}+\frac{\kappa^{'2}}{\kappa^{4}\tau^{2}}=a^{2} (constante).

La hélice esférica.

Como \tau = \kappa \cot \alpha \,, será \frac{1}{\kappa^{2}}+\frac{\kappa^{'2}}{\kappa^{6}\cot^{2}\alpha}=a^{2}

Haciendo el cambio \kappa=\frac{1}{\rho}, se obtiene:

\rho^{2}+\rho^{2}\rho^{'2}\tan^{2}\alpha=a^{2}\,, o lo que es lo mismo, :\frac{\rho d\rho}{\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}}\tan\alpha=ds

Integrando la igualdad anterior se obtiene: -\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}\tan\alpha=s+C.

Se puede hacer C = 0, tomando como origen de arcos el punto en el que \kappa(s)=\frac{1}{a} y por tanto \rho = a \,.

Aceptando esta hipótesis y elevando al cuadrado -\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}\tan\alpha=s se obtiene a^{2}-\rho^{2}=s^{2}\cot^{2}\alpha\,.

Como: \rho=\frac{1}{\kappa}, será: a^{2}-\frac{1}{\kappa^{2}}=s^{2}\cot^{2}\alpha

y como \kappa=\tau\tan\alpha\,, resulta: a^{2}-\frac{\cot^{2}\alpha}{\tau^{2}}= s^{2}\cot^{2}\alpha, y por tanto:

s^{2}+\frac{1}{\tau^{2}}= a^{2}\tan^{2}\alpha

Las ecuaciones obtenidas anteriormente determinan las ecuaciones intrínsecas de las hélices esféricas. Despejando \kappa^{2} y \tau^{2}\, se obtiene:

\kappa^{2}=\frac{1}{a^{2}-s^{2}\cot^{2}\alpha}
\tau^{2}=\frac{1}{a^{2}\tan^{2}\alpha-s^{2}}


En el caso general, se obtiene como ecuaciones intrínsecas:

\kappa^{2}=\frac{1}{a^{2}-\left(s+C\right)^{2}\cot^{2}\alpha}
\tau^{2}=\frac{1}{a^{2}\tan^{2}\alpha-\left(s+C\right)^{2}}

Véase también

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Hélice (geometría) — Definición Una hélice cilíndrica es una curva que corta a las generatrices de un cilindro recto con un ángulo constante. Esto quiere decir que la distancia entre dos puntos de corte consecutivos de la hélice con cualquiera de las mencionadas… …   Enciclopedia Universal

  • Geometría de las conchas de moluscos — Una espiral logarítmica. En matemáticas, una superficie de concha de mar es una superficie hecha por un círculo que sube en espirales del eje z, mientras que disminuye su propio radio y la distancia desde el eje z. No obstante en la naturaleza no …   Wikipedia Español

  • hélice — sustantivo femenino 1. Conjunto de aletas o aspas movidas por un motor, que giran alrededor de un eje, y que sirven para la propulsión de ciertos aparatos: La hélice del barco se rompió al engancharse con un cable. 2. Espiral. 3. Área: geometría… …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • hélice — s. f. 1.  [Geometria] Linha curva traçada sobre um cilindro de revolução; espiral. 2. Aparelho de propulsão, tração ou sustentação acionado por um motor e aplicado aos navios, torpedos, aeronaves, etc. 3. Parte de ventilador ou de ventoinha… …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • Hélice — (Del bajo lat. helix, icis < gr. helix, espiral.) ► sustantivo femenino 1 MECÁNICA Dispositivo propulsor, de tracción o de sustentación de los barcos y aeronaves, de forma helicoidal. 2 GEOMETRÍA Línea curva que da indefinidamente vueltas… …   Enciclopedia Universal

  • Hélice (Héroes) — Para otros usos de este término, véase Hélice. La hélice es un elemento recurrente que aparece a lo largo de toda la serie de televisión Heroes. Éste es el más recurrente ya que aparece casualmente en casi todos los capítulos de la 1ª temporada… …   Wikipedia Español

  • Geometría diferencial de curvas — En matemáticas, la geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en Variedades de Riemann, y en particular, en el Espacio Euclídeo. Contenido 1 Longitud de arco 2 Vectores tangente, normal y binormal …   Wikipedia Español

  • hélice — (f) (Intermedio) mecanismo formado por aletas, usado en los barcos o aviones como forma de propulsión Ejemplos: El helicóptero estaba listo para el despegue y su hélice empezó a girar. Las hélices de este buque son las más grandes del mundo.… …   Español Extremo Basic and Intermediate

  • hélice — {{#}}{{LM H19906}}{{〓}} {{[}}hélice{{]}} ‹hé·li·ce› {{《}}▍ s.f.{{》}} {{<}}1{{>}} Instrumento formado por dos o más aletas o aspas curvas que giran alrededor de un eje movidas por un motor, y que se utiliza como propulsor de barcos y aviones.… …   Diccionario de uso del español actual con sinónimos y antónimos

  • Doble hélice — Saltar a navegación, búsqueda La línea azul es una hélice, y la roja es otra, formando juntas una doble hélice …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”