Generación de variables aleatorias

Generación de variables aleatorias

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En estadística, un número aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada por una distribución. Los algoritmos para la generación de valores uniformemente distribuidos están presentes en todas las calculadoras y lenguajes de programación, y suelen estar basados en congruencias numéricas del tipo:

$x_{n+1} \equiv (ax_n+c)(\rm mod m)$

El éxito de este tipo de generadores de valores de una variable aleatoria depende de la elección de los cuatro parámetros que intervienen inicialmente en la expresión anterior:

• El valor inicial o semilla: x₀
• La constante multiplicativa: a
• La constante aditiva: c
• El número m respecto al cual se calculan los restos

Estos cuatro valores deben ser números enteros no negativos y que cumplan la siguiente condición: x₀,a,c < m

Por la condición anterior, es evidente que todos los valores generados por este procedimiento son números enteros entre 0 y m-1. El número máximo de cifras distintas que pueden obtenerse con el procedimiento descrito es m, así que llegará un momento en que el primer número generado se repetirá produciéndose un ciclo.

El ciclo dónde inevitablemente caerá el generador interesa que sea de la mayor longitud posible (como máximo m), para evitar que se repitan pronto los valores aleatorios. Por ejemplo, para los valores a = 3, c = 5, x₀ = 2 y m = 32 se obtiene la siguiente secuencia de valores:

2-11-6-23-10-3-14-15-18-27-22-7-26-19-30-31-2-11-6

La secuencia generada tiene como longitud 16 números (el número generado en la decimoséptima posición es el 2 inicial, por lo que toda la secuencia se repite a partir de ahí), muy inferior a la longitud máxima que podría tener (m=32). Determinadas elecciones de parámetros del generador (x₀ , a , c y m) conducen a ciclos de amplitud máxima.

• Si c!=0:
  • m.c.m.(c,m) = 1
  • $a \equiv 1(\rm mod p)$ para cada primo p de m
  • $a \equiv 1(\rm mod 4)$ si 4 es divisor de m

• Si c=0:
  • m es primo
  • $a^{m-1/p} \equiv 1(\rm mod m)$ para cada factor primo p de m-1

Por ejemplo, tomando como valores m = 2⁵ = 32, a = 5, x₀ = 1 y c = 3 se obtiene la siguiente secuencia de números, que tiene longitud máxima:

1-8-11-26-5-28-15-14-9-16-19-2-13-4-23-22-17-24-27-10-21-12-31-30-25-0-3-18-29-20-7-6-1

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